문제 3-1 예시 답안
▶ 2f(t)+f(−t)의 원시함수를 F(t)라 하면 다음을 만족한다.F(2x−1)−F(1)=−8x3+20x2+22x−34
+5점 · [3-1] 2f(t)+f(−t)의 원시함수 F(t)를 고려하여 2F′(2x−1)=−24x2+40x+22를 얻으면▶ 양변을 미분하여 2F′(2x−1)=−24x2+40x+22를 얻는다.
+5점 · [3-1] 식을 정리하여 2f(x)+f(−x)=−3x2+4x+18을 정확히 얻으면▶ F′(2x−1)=−3(2x−1)2+4(2x−1)+18이므로 2f(x)+f(−x)=F′(x)=−3x2+4x+18이다.
문제 3-2 예시 답안
+7점 · [3-2] f(x)=−x2+4x+6을 정확히 계산하면▶ 2f(x)+f(−x)=−3x2+4x+18에 x 대신 −x를 대입하여 또 하나의 식 2f(−x)+f(x)=−3x2−4x+18을 얻는다. 두 식을 연립하여 f(x)=−x2+4x+6을 얻는다.
+6점 · [3-2] x>0일 때, x+x2가 취할 수 있는 값의 범위를 정확히 계산하면 +7점 · [3-2] f(x+x2)는 최댓값 −2+82를 정확히 계산하면▶ x>0일 때, x+x2≥2x⋅x2=22이다. f(x)는 대칭축이 x=2이고 위로 볼록한 이차함수의 그래프를 가지므로 f(x+x2)는 x+x2=22일 때, 최댓값 −2+82를 가진다.
[3-1] (논리적인) 다른 방식으로 2f(x)+f(−x)를 정확히 구하면 +10점
[3-1] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능.
[3-2] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.