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자연계열 3번

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중앙대 2015학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문 (가)~(다)를 읽고 문항에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 다음을 만족한다.∫12x−1{2f(t)+f(−t)} dt=−8x3+20x2+22x−34\displaystyle \int_1^{2x-1}\{2f(t)+f(-t)\}\,dt=-8x^3+20x^2+22x-34

(나) 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때 다음을 만족한다.ddx∫axg(t) dt=g(x)(단, a≤x≤b)\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xg(t)\,dt=g(x)\quad(\text{단, }a\le x\le b)

(다) 두 함수 y=g(u),u=h(x)\displaystyle y=g(u),u=h(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=g(h(x))\displaystyle y=g(h(x))의 도함수는 아래와 같다.dydx=dydu⋅dudx=g′(h(x))⋅h′(x)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=g^{\prime}(h(x))\cdot h^{\prime}(x)

[문제 3-1] 제시문 (가)에 주어진 함수 2f(x)+f(−x)\displaystyle 2f(x)+f(-x)를 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [10점]

[문제 3-2] x>0\displaystyle x>0일 때, x+2x\displaystyle x+\frac2x가 취할 수 있는 값의 범위와 f(x+2x)\displaystyle f(x+\frac2x)의 최댓값을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_3

문제 3-1 예시 답안

▶ 2f(t)+f(−t)\displaystyle 2f(t)+f(-t)의 원시함수를 F(t)\displaystyle F(t)라 하면 다음을 만족한다.F(2x−1)−F(1)=−8x3+20x2+22x−34\displaystyle F(2x-1)-F(1)=-8x^3+20x^2+22x-34

+5점 · [3-1] 2f(t)+f(−t)\displaystyle 2f(t)+f(-t)의 원시함수 F(t)\displaystyle F(t)를 고려하여 2F′(2x−1)=−24x2+40x+22\displaystyle 2F^{\prime}(2x-1)=-24x^2+40x+22를 얻으면

▶ 양변을 미분하여 2F′(2x−1)=−24x2+40x+22\displaystyle 2F^{\prime}(2x-1)=-24x^2+40x+22를 얻는다.

+5점 · [3-1] 식을 정리하여 2f(x)+f(−x)=−3x2+4x+18\displaystyle 2f(x)+f(-x)=-3x^2+4x+18을 정확히 얻으면

▶ F′(2x−1)=−3(2x−1)2+4(2x−1)+18\displaystyle F^{\prime}(2x-1)=-3(2x-1)^2+4(2x-1)+18이므로 2f(x)+f(−x)=F′(x)=−3x2+4x+18\displaystyle 2f(x)+f(-x)=F^{\prime}(x)=-3x^2+4x+18이다.

문제 3-2 예시 답안

+7점 · [3-2] f(x)=−x2+4x+6\displaystyle f(x)=-x^2+4x+6을 정확히 계산하면

▶ 2f(x)+f(−x)=−3x2+4x+18\displaystyle 2f(x)+f(-x)=-3x^2+4x+18에 x\displaystyle x 대신 −x\displaystyle -x를 대입하여 또 하나의 식 2f(−x)+f(x)=−3x2−4x+18\displaystyle 2f(-x)+f(x)=-3x^2-4x+18을 얻는다. 두 식을 연립하여 f(x)=−x2+4x+6\displaystyle f(x)=-x^2+4x+6을 얻는다.

+6점 · [3-2] x>0\displaystyle x>0일 때, x+2x\displaystyle x+\frac2x가 취할 수 있는 값의 범위를 정확히 계산하면

▶ x>0\displaystyle x>0일 때, x+2x≥2x⋅2x=22\displaystyle x+\frac2x\ge2\sqrt{x\cdot\frac2x}=2\sqrt2이다.

+7점 · [3-2] f(x+2x)\displaystyle f(x+\frac2x)는 최댓값 −2+82\displaystyle -2+8\sqrt2를 정확히 계산하면

f(x)\displaystyle f(x)는 대칭축이 x=2\displaystyle x=2이고 위로 볼록한 이차함수의 그래프를 가지므로 f(x+2x)\displaystyle f(x+\frac2x)는 x+2x=22\displaystyle x+\frac2x=2\sqrt2일 때, 최댓값 −2+82\displaystyle -2+8\sqrt2를 가진다.

[3-1] (논리적인) 다른 방식으로 2f(x)+f(−x)\displaystyle 2f(x)+f(-x)를 정확히 구하면 +10점

[3-1] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능.

[3-2] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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