수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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중앙대 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문 (가)~(다)를 읽고 문항에 답하시오.

(가) y=∣nx∣\displaystyle y=|nx|의 그래프에 중심이 (0,cn)\displaystyle (0,c_n)이고 반지름이 12n\displaystyle \frac1{2\sqrt n}인 원이 아래의 그림과 같이 접하고 있다. 두 접점을 각각 (pn,qn),(−pn,qn)\displaystyle (p_n,q_n),(-p_n,q_n)이라 하자. 단, n\displaystyle n은 양의 정수이다.

그래프 y=|nx|의 두 반직선에 접하는 원과 두 접점

(나) 점 (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)와 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 사이의 거리 d\displaystyle d는 다음과 같다.d=∣ax0+by0+c∣a2+b2\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(다) 수렴하는 두 수열 {an},{bn}\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}에 대하여 lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to∞}(a_n±b_n)=\lim_{n\to∞}a_n±\lim_{n\to∞}b_n이 성립한다.

[문제 2-1] 제시문 (가)에 주어진 cn\displaystyle c_n과 pn\displaystyle p_n의 값을 각각 n\displaystyle n에 대한 식으로 나타내시오. [10점]

[문제 2-2] 제시문 (가)의 그림과 같이 y=∣nx∣\displaystyle y=|nx|와 원에 의해 둘러싸인 영역의 넓이를 An\displaystyle A_n이라 할 때, lim⁡n→∞An\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_2

문제 2-1 예시 답안

+5점 · [2-1] cn\displaystyle c_n의 식을 제시하면

▶ 제시문 (나)에 주어진 공식으로부터 12n=cnn2+1\displaystyle \frac1{2\sqrt n}=\frac{c_n}{\sqrt{n^2+1}}을 얻으므로, cn=12n+1n\displaystyle c_n=\frac12\sqrt{n+\frac1n}이다.

▶ 두 점 (0,cn)\displaystyle (0,c_n)과 (pn,qn)\displaystyle (p_n,q_n)을 지나는 직선은 y=nx\displaystyle y=nx와 직교하므로 −1=n⋅cn−qn−pn=n⋅cn−npn−pn\displaystyle -1=n\cdot\frac{c_n-q_n}{-p_n}=n\cdot\frac{c_n-np_n}{-p_n}이다.

+5점 · [2-1] pn\displaystyle p_n의 식을 제시하면

▶ 식을 정리하여 pn=cnn+1n=12n+1nn+1n=12n+1n\displaystyle p_n=\frac{c_n}{n+\frac1n}=\frac{\frac12\sqrt{n+\frac1n}}{n+\frac1n}=\frac1{2\sqrt{n+\frac1n}}이다.

문제 2-2 예시 답안

▶ 원점과 두 점 (0,cn),(pn,qn)\displaystyle (0,c_n),(p_n,q_n)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 an\displaystyle a_n이라 하고, 이 삼각형과 내접원 내부의 교집합이 이루는 부채꼴의 넓이를 bn\displaystyle b_n이라 하면 An=2(an−bn)\displaystyle A_n=2(a_n-b_n)이다.

+5점 · [2-2] 원점과 두 점 (0,cn),(pn,qn)\displaystyle (0,c_n),(p_n,q_n)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 계산하면

▶ an=12cnpn=18\displaystyle a_n=\frac12c_np_n=\frac18이고, 내접원의 반지름은 0으로 수렴하므로 bn→0\displaystyle b_n\to0이다.

+5점 · [2-2] 삼각형의 넓이와 부채꼴의 넓이를 이용하여 lim⁡n→∞An\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n을 계산하면

▶ 따라서 lim⁡n→∞An=14\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n=\frac14이다.

[2-1] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

[2-2] (논리적인) 다른 방식으로 lim⁡n→∞An\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n을 정확히 계산하면 +10점

[2-2] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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