수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

중앙대 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_2

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중앙대 2015학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2015mo/jayeon_2

문제 2-1 예시 답안

+5점 · [2-1] cn\displaystyle c_n의 식을 제시하면

▶ 제시문 (나)에 주어진 공식으로부터 12n=cnn2+1\displaystyle \frac1{2\sqrt n}=\frac{c_n}{\sqrt{n^2+1}}을 얻으므로, cn=12n+1n\displaystyle c_n=\frac12\sqrt{n+\frac1n}이다.

▶ 두 점 (0,cn)\displaystyle (0,c_n)과 (pn,qn)\displaystyle (p_n,q_n)을 지나는 직선은 y=nx\displaystyle y=nx와 직교하므로 −1=n⋅cn−qn−pn=n⋅cn−npn−pn\displaystyle -1=n\cdot\frac{c_n-q_n}{-p_n}=n\cdot\frac{c_n-np_n}{-p_n}이다.

+5점 · [2-1] pn\displaystyle p_n의 식을 제시하면

▶ 식을 정리하여 pn=cnn+1n=12n+1nn+1n=12n+1n\displaystyle p_n=\frac{c_n}{n+\frac1n}=\frac{\frac12\sqrt{n+\frac1n}}{n+\frac1n}=\frac1{2\sqrt{n+\frac1n}}이다.

문제 2-2 예시 답안

▶ 원점과 두 점 (0,cn),(pn,qn)\displaystyle (0,c_n),(p_n,q_n)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 an\displaystyle a_n이라 하고, 이 삼각형과 내접원 내부의 교집합이 이루는 부채꼴의 넓이를 bn\displaystyle b_n이라 하면 An=2(an−bn)\displaystyle A_n=2(a_n-b_n)이다.

+5점 · [2-2] 원점과 두 점 (0,cn),(pn,qn)\displaystyle (0,c_n),(p_n,q_n)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 계산하면

▶ an=12cnpn=18\displaystyle a_n=\frac12c_np_n=\frac18이고, 내접원의 반지름은 0으로 수렴하므로 bn→0\displaystyle b_n\to0이다.

+5점 · [2-2] 삼각형의 넓이와 부채꼴의 넓이를 이용하여 lim⁡n→∞An\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n을 계산하면

▶ 따라서 lim⁡n→∞An=14\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n=\frac14이다.

[2-1] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

[2-2] (논리적인) 다른 방식으로 lim⁡n→∞An\displaystyle \lim_{n\to∞}A_n을 정확히 계산하면 +10점

[2-2] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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