중앙대 2016학년도 모의 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

⊙ 좌표평면상의 두 점 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 의 중점은 두 점을 잇는 선분을 1:1로 내분하는 점을 의미한다.

⊙ 좌표평면상의 세 점 $\displaystyle A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심 $\displaystyle G$ 의 좌표는 $\displaystyle G(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3)$ 이다.

⊙ 좌표평면상에 세 점 $\displaystyle A_1(1,1),B_1(3,5),C_1(5,3)$ 이 있다. 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle A_{n+1}$ 은 $\displaystyle B_n$ 과 $\displaystyle C_n$ 의 중점이고, $\displaystyle B_{n+1}$ 은 $\displaystyle C_n$ 과 $\displaystyle A_n$ 의 중점이고, $\displaystyle C_{n+1}$ 은 $\displaystyle A_n$ 과 $\displaystyle B_n$ 의 중점이라 하자. 또한, 각 점들의 좌표를 $\displaystyle A_n(a_{n1},a_{n2}),B_n(b_{n1},b_{n2}),C_n(c_{n1},c_{n2})$ 로 표기한다.

[문제 2-1] 삼각형 $\displaystyle A_nB_nC_n$ 의 면적을 $\displaystyle T_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^∞T_n$ 의 값을 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [10점]

[문제 2-2] $\displaystyle \lim_{n\to∞}\frac{a_{n1}+b_{n1}+c_{n1}}{a_{n1}+a_{n2}}$ 의 값을 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [10점]

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수학 문제 2-1 예시 답안

● $\displaystyle T_n$ 이 등비수열이다. 초항에 해당하는 첫 번째 삼각형의 면적 $\displaystyle T_1=6$ 을 구한다. 중점을 연결한 다음 삼각형은 변의 길이가 $\displaystyle \frac12$ 배로 줄어든 닮은꼴이 된다. 따라서 닮은꼴의 성질을 이용하여 공비가 $\displaystyle \frac14$ 라는 것을 알아내고, 무한 급수 공식을 이용하면 $\displaystyle \frac6{1-\frac14}=8$ 이다.

수학 문제 2-2 예시 답안

● 점을 벡터로 보면 $\displaystyle A_{n+1}$ 이 $\displaystyle B_n$ 과 $\displaystyle C_n$ 의 중점이라는 것을 $\displaystyle A_{n+1}=\frac12(B_n+C_n)$ 으로 표현할 수 있다. 다른 점들도 같은 방식으로 표현할 수 있고, 세 식을 더하면 $\displaystyle A_{n+1}+B_{n+1}+C_{n+1}=A_n+B_n+C_n$ 임을 확인할 수 있다. 이것은 $\displaystyle n$ 번째 삼각형과 $\displaystyle n+1$ 번째 삼각형의 무게중심이 같다는 것을 의미한다. 벡터의 첫 번째 성분을 살펴보면 $\displaystyle a_{n1}+b_{n1}+c_{n1}=a_{11}+b_{11}+c_{11}=9$ 이 된다.

● 문제에서 무게 중심은 $\displaystyle G(3,3)$ 이고 $\displaystyle G$ 를 중심으로 삼각형들이 줄어들면서 꼭짓점들이 $\displaystyle G$ 로 수렴하고 있다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to∞}(a_{n1}+a_{n2})=6$ 이다. 극한값은 다음과 같다. $\displaystyle \lim_{n\to∞}\frac{a_{n1}+b_{n1}+c_{n1}}{a_{n1}+a_{n2}}=\frac32$

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자연계열 2번

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