자연계열 3번

수학 문제 3-1 예시 답안

● 제시문의 부분 적분 공식을 적용해서 다음 식을 얻는다.$\displaystyle A=\int_0^1h^{(10)}(x)x^{10}\,dx=-\int_0^1h^{(9)}(x)10x^9\,dx$여기서 $\displaystyle h^{(9)}(x)$를 보면 10차식 $\displaystyle x^{10}$과 $\displaystyle (1-x)^{10}$의 곱을 9번 미분한 것이므로 $\displaystyle x^n(1-x)^m\ (n\ge1,m\ge1)$의 더하기 형태로 표현되므로 $\displaystyle x=0,x=1$을 대입하면 모든 항이 0이 된다. 같은 논법으로 계산해 보면 $\displaystyle A=10!B$이다.

수학 문제 3-2 예시 답안

● 제시문의 부분 적분 공식을 3번 적용하고문제 조건 $\displaystyle f(1)=f(-1)=0,\ f^{\prime}(1)=f^{\prime}(-1)=0$을 이용하면$\displaystyle p(1)f^{(2)}(1)-p(-1)f^{(2)}(-1)-6a\int_{-1}^1f(x)\,dx=6\int_{-1}^1f(x)\,dx$이 나오고$\displaystyle p(1)=a+b,p(-1)=-a-b$이므로 다음 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle (a+b)(f^{(2)}(1)+f^{(2)}(-1))=6(a+1)\int_{-1}^1f(x)\,dx\quad(*)$

● $\displaystyle f(x)$를 임의로 정할 수 있기 때문에 항등식이 되려면 $\displaystyle a=-1,b=1$이 되어야 한다.