자연계열 1번

단국대 2016학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2016mo/jayeon_1

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

(가) 지수의 성질에 의하여 $\displaystyle 2^x=8$ 을 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값은 $\displaystyle 3$ 이지만 $\displaystyle 2^x=5$ 를 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값은유리수 범위에 없다. 일반적으로, $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle a\ne1$ 일 때, 임의의 양수 $\displaystyle N$ 에 대하여 $\displaystyle a^x=N$ 을 만족시키는 실수 $\displaystyle x$ 는 오직 하나 존재한다. 이 때, $\displaystyle x$ 를 $\displaystyle a$ 를 밑으로 하는 $\displaystyle N$ 의 로그라 하고, 기호로 $\displaystyle \log_aN$ 과 같이 나타낸다. 일상생활에서 흔히 사용하는 수는 십진법의 수이므로 로그의 계산에서도 10을밑으로 하는 로그를 사용하면 편리하다. 이렇게 10을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하고, 상용로그 $\displaystyle \log_{10}N$ 은 흔히 밑 10을 생략하여 $\displaystyle \log N$ 과 같이 나타낸다.

(나) 임의의 양수 $\displaystyle x$ 는 10의 거듭제곱을 이용하여 $\displaystyle x=A\times10^n$ ( $\displaystyle 1\le A<10$ , $\displaystyle n$ 은 정수)의 꼴로 나타낼 수 있다. 이 식의 양변에 상용로그를 취하면 $\displaystyle \log x=n+\log A$ 이며, $\displaystyle 1\le A<10$ 이므로 $\displaystyle 0\le\log A<1$ 이다. 이때 정수 $\displaystyle n$ 을 $\displaystyle \log x$ 의 지표, $\displaystyle \log A$ 를 $\displaystyle \log x$ 의 가수라고 한다.

모든 항이 양수인 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 [논제 1]과 [논제 2]의 물음에 답하시오.

[논제 1] 수열 $\displaystyle \{\log a_n\}$ 이 등차수열이면 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 등비수열임을 설명하시오. (10점)

[논제 2] 양수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \log x$ 의 가수를 $\displaystyle g(x)$ 라고 하자. 수열 $\displaystyle \{\log a_n\}$ 은 공차가 $\displaystyle d$ (단, $\displaystyle -1<d<0$ )인 등차수열이고 $\displaystyle g(a_{22})-g(a_2)=-\frac12$ 일 때, $\displaystyle d$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle a_n=a_1\times(10^d)^{n-1}

임을 제시

[논제1] $\displaystyle \{\log a_n\}$ 을 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열이라 하면 일반항은 $\displaystyle \log a_n=\log a_1+(n-1)d$ 이다. 따라서 $\displaystyle \log a_n=\log a_1+\log10^{(n-1)d}=\log a_1 10^{(n-1)d}$ 이므로, $\displaystyle a_n=a_1\times(10^d)^{n-1}$ 이다.

+5점 · 공비가

\displaystyle 10^d

임을 제시

그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle a_1$ 이고 공비가 $\displaystyle 10^d$ 인 등비수열이다.

+10점 · 공비

\displaystyle d

와

\displaystyle f(a_{22})-f(a_2)

의 관계 제시

Correction. 평가기준의 공비 d는 공차 d의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제2] $\displaystyle \log x$ 의 지표를 $\displaystyle f(x)$ 라 하면 $\displaystyle \log a_{22}=f(a_{22})+g(a_{22})=\log a_1+21d$ $\displaystyle \log a_2=f(a_2)+g(a_2)=\log a_1+d$ 이므로 $\displaystyle 20d=f(a_{22})-f(a_2)+g(a_{22})-g(a_2)=\{f(a_{22})-f(a_2)\}-\frac12=k-\frac12$

+10점 · 최댓값, 최솟값 제시

(단, $\displaystyle k=f(a_{22})-f(a_2)$ )이다. 따라서 $\displaystyle -1<d<0$ 의 조건으로부터 $\displaystyle -1<\frac k{20}-\frac1{40}<0$ 이고, $\displaystyle k$ 는 정수이므로 $\displaystyle -19\le k\le0$ 이다. 그러므로 $\displaystyle d=\frac k{20}-\frac1{40}$ 에서 구하는 최댓값은 $\displaystyle -\frac1{40}$ , 최솟값은 $\displaystyle -\frac{39}{40}$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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