자연계열 1번

[논제1] $\displaystyle \{\log a_n\}$을 공차가 $\displaystyle d$인 등차수열이라 하면 일반항은$\displaystyle \log a_n=\log a_1+(n-1)d$이다. 따라서$\displaystyle \log a_n=\log a_1+\log10^{(n-1)d}=\log a_1 10^{(n-1)d}$이므로,$\displaystyle a_n=a_1\times(10^d)^{n-1}$이다. 그러므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle a_1$이고 공비가 $\displaystyle 10^d$인 등비수열이다.

[논제2] $\displaystyle \log x$의 지표를 $\displaystyle f(x)$라 하면$\displaystyle \log a_{22}=f(a_{22})+g(a_{22})=\log a_1+21d$$\displaystyle \log a_2=f(a_2)+g(a_2)=\log a_1+d$이므로$\displaystyle 20d=f(a_{22})-f(a_2)+g(a_{22})-g(a_2)=\{f(a_{22})-f(a_2)\}-\frac12=k-\frac12$

(단, $\displaystyle k=f(a_{22})-f(a_2)$)이다. 따라서 $\displaystyle -1<d<0$의 조건으로부터$\displaystyle -1<\frac k{20}-\frac1{40}<0$이고, $\displaystyle k$는 정수이므로 $\displaystyle -19\le k\le0$이다. 그러므로$\displaystyle d=\frac k{20}-\frac1{40}$에서 구하는 최댓값은 $\displaystyle -\frac1{40}$, 최솟값은 $\displaystyle -\frac{39}{40}$이다.