자연계열 3번

[논제 1] 문제의 조건에서 원의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle x^2+(f(x)-f(0))^2=r^2$따라서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 $\displaystyle 0$ 부터 $\displaystyle x$까지의 평균변화율 $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$는$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt{r^2-x^2}}x=\frac{r\sqrt{\frac{r+1}{r+2}}}{\frac r{\sqrt{r+2}}}=\sqrt{r+1}$

이다. 한편, $\displaystyle \Delta x\to0$일 때, $\displaystyle r\to0$이므로, $\displaystyle x=0$에서의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(0)$은 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{r\to0}\sqrt{r+1}=1$

[논제 2] 제시문 (나)의 예와 부분적분법을 사용하여, 주어진 $\displaystyle g(x)$에 관한 우변의 적분을 계산하면$\displaystyle g(x)=1-e^{-x}(\sin x+\cos x)=1-\sqrt2e^{-x}\sin\left(x+\frac\pi4\right)$

이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle g(x)=1$의 모든 양의 해는$\displaystyle \pi-\frac\pi4,2\pi-\frac\pi4,3\pi-\frac\pi4,\cdots$이다. 즉, $\displaystyle x_n=n\pi-\frac\pi4$(단, $\displaystyle n$은 자연수)이다. 한편,

$\displaystyle g^{\prime}(x)=2e^{-x}\sin x$이므로$\displaystyle g^{\prime}(x_n)=2e^{-n\pi+\pi/4}\sin\left(n\pi-\frac\pi4\right)=(-1)^{n+1}\sqrt2e^{-n\pi+\pi/4}=-\sqrt2e^{\pi/4}(-e^{-\pi})^n$

이다. 그러므로 $\displaystyle \left|-\frac1{e^{\pi}}\right|<1$이므로 무한등비급수의 합의 공식으로부터$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}g^{\prime}(x_n)=\sqrt2e^{\pi/4}\frac{e^{-\pi}}{1-(-\frac1{e^{\pi}})}=\frac{\sqrt2e^{\pi/4}}{1+e^{\pi}}$이다.