자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle f_1\circ g$는 주어진 점을 $\displaystyle y$축 위로 수선의 발을 내린 후 원점을 중심으로 $\displaystyle \theta$만큼 회전이동 시키고, $\displaystyle f_2\circ h$는 주어진 점을 $\displaystyle x$축 위로 수선의 발을 내린 후 원점을 중심으로 $\displaystyle \frac\pi2-\theta$만큼 회전이동 시킨다.

[논제 2] [논제 1]로부터 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle P_{4n+1}$, $\displaystyle P_{4n+2}$, $\displaystyle P_{4n+3}$, $\displaystyle P_{4n+4}$는 차례대로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면에 위치하게 됨을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle P_{4n+1}$과 $\displaystyle P_{4n+3}$은 원점을 지나고 기울기가 $\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\theta\right)$인 직선 위에 놓여 있고, $\displaystyle P_{4n+2}$와 $\displaystyle P_{4n+4}$는 원점을 지나고 기울기가$\displaystyle \tan\left(\frac\pi2+\theta\right)$인 직선 위에 놓여 있다. 이러한 기하학적인 고찰로부터$\displaystyle \overline{OP_{4n+1}}=\sin\theta\times\overline{OP_{4n}}$$\displaystyle \overline{OP_{4n+2}}=\cos\theta\times\overline{OP_{4n+1}}$$\displaystyle \overline{OP_{4n+3}}=\sin\theta\times\overline{OP_{4n+2}}$$\displaystyle \overline{OP_{4n+4}}=\cos\theta\times\overline{OP_{4n+3}}$

이 성립함을 알 수 있다. 이제 조건으로부터$\displaystyle \frac{\triangle OP_2P_7}{\triangle OP_4P_7}=\frac{\overline{OP_2}}{\overline{OP_4}}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta\cos^2\theta}=\frac1{\sin\theta\cos\theta}=4$이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi{12}$이다.

한편, $\displaystyle \overline{OP_7}=\sin^3\theta\cos^3\theta$이므로$\displaystyle \triangle P_2P_4P_7=5\times\triangle OP_4P_7=\frac52\sin^4\theta\cos^5\theta\sin2\theta=\frac{5(\sqrt6+\sqrt2)}{2^{12}}$이다.