자연계열 1번

[논제1] 삼차함수 $\displaystyle f(x)=ax(x^2-4)$가 원점에 대칭이므로$\displaystyle -2-g(0)=\int_0^2f(t)\,dt=\int_0^{-2}f(t)\,dt=\int_1^{-2}f(t)\,dt-\int_1^0f(t)\,dt=g(-2)-g(0)$

따라서 $\displaystyle g(-2)=-2$이다.

[논제2] $\displaystyle f(x)=ax(x^2-4)=ax^3-4ax$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2-4a$이고 $\displaystyle f^{\prime}(1)=-a$이다.

따라서 직선 $\displaystyle m$은 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나고 직선 $\displaystyle \ell$에 수직이므로 직선 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac1a(x-1)-3a$이다.

직선 $\displaystyle m$이 점 $\displaystyle (13,0)$을 지나고 $\displaystyle a$가 양수이므로 $\displaystyle a=2$이다.

[논제3] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 각 점에서 접선을 그어서 $\displaystyle x$절편을 살펴보면, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 변곡점이 $\displaystyle x$축 위에 있으므로, 주어진 조건 (2)를 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 오로지 $\displaystyle \mathrm{P}(2,0)$뿐이고 이 경우 두 접선 중 하나는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 접한다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 접하는 직선을 $\displaystyle \ell^{\prime}$이라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 아닌 점 $\displaystyle \mathrm{B}(b,f(b))$에서 접하는 직선을 $\displaystyle m^{\prime}$이라 하자. 직선 $\displaystyle m^{\prime}$의 방정식은$\displaystyle y=f^{\prime}(b)(x-b)+f(b)=(3ab^2-4a)(x-b)+ab^3-4ab$이고, 직선 $\displaystyle m^{\prime}$은 점 $\displaystyle \mathrm{P}(2,0)$을 지나므로$\displaystyle 6ab^2-2ab^3-8a=0$이다.$\displaystyle (b+1)(b-2)^2=0$에서 $\displaystyle b=-1$, $\displaystyle b=2$. $\displaystyle b\ne2$이므로 $\displaystyle b=-1$. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{B}(-1,f(-1))$에서 직선 $\displaystyle m^{\prime}$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 접한다.

두 접선 $\displaystyle \ell^{\prime},m^{\prime}$은 서로 수직이므로$\displaystyle -1=f^{\prime}(-1)f^{\prime}(2)=(3a-4a)(12a-4a)$이고 $\displaystyle a$가 양수이므로 $\displaystyle a=\frac{\sqrt2}4$이다.