자연계열 2번

[논제1] 먼저 닫힌구간 $\displaystyle [4,6]$에서 주어진 조건을 만족하는 $\displaystyle t$를 찾아보자.$\displaystyle \int_0^4f(x)\,dx=0$이므로 $\displaystyle \frac1{6\pi}=\int_0^tf(x)\,dx=\int_4^t\sin(3\pi x)\,dx=\Biggl[-\frac1{3\pi}\cos(3\pi x)\Biggr]_4^t$

즉, 닫힌구간 $\displaystyle [4,6]$에서 $\displaystyle \cos3\pi t=\frac12$을 만족시키는 $\displaystyle t$의 값은$\displaystyle \frac{37}9,\frac{41}9,\frac{43}9,\frac{47}9,\frac{49}9,\frac{53}9$

이다. 그러므로 닫힌구간 $\displaystyle [0,6]$에서 주어진 조건을 만족시키는 $\displaystyle t$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{53}9$이다.

[논제2]$\displaystyle 0\le k<2$이고 $\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=\int_0^k\sin(\pi x)\,dx=0$인 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle 1$,$\displaystyle 2\le k<4$이고 $\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=\int_2^k\sin(2\pi x)\,dx=0$인 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle 2$,$\displaystyle 4\le k<6$이고 $\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=\int_4^k\sin(3\pi x)\,dx=0$인 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle 3$,$\displaystyle 6\le k<8$이고 $\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=\int_6^k\sin(4\pi x)\,dx=0$인 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle 4$,$\displaystyle 8\le k<10$이고 $\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=\int_8^k\sin(5\pi x)\,dx=0$인 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle 5$이므로 구간 $\displaystyle 0\le k<10$에서 $\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=0$인 실수 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle 15$이다.

따라서 $\displaystyle 10\le k\le m$일 때$\displaystyle \int_0^kf(x)\,dx=\int_{10}^kf(x)\,dx=0$을 만족시키는 $\displaystyle k$의 개수가 $\displaystyle 3$이어야 한다.$\displaystyle 0=\int_{10}^kf(x)\,dx=\int_{10}^k\sin6\pi x\,dx=-\frac1{6\pi}\Biggl[\cos6\pi x\Biggr]_{10}^k$이므로 $\displaystyle 10\le k<12$일 때 $\displaystyle \cos6\pi k=1$을 만족시키는 $\displaystyle k$의 값을 모두 구하면$\displaystyle 10,10+\frac13,10+\frac23,11,11+\frac13,11+\frac23$

이다. 따라서 구간 $\displaystyle 10\le k\le m$인 $\displaystyle k$가 $\displaystyle 3$개뿐이기 위한 $\displaystyle m$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{32}3\le m<11$이다.