자연계열 1번

• $\displaystyle x\ge t$이면 $\displaystyle f(x)=x^2+x-t=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-t$는 $\displaystyle x=t$에서 최솟값 $\displaystyle f(t)=t^2$을 갖는다.

• $\displaystyle x\le t$이면 $\displaystyle f(x)=x^2-x+t=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14+t$는 $\displaystyle x=t$에서 최솟값 $\displaystyle f(t)=t^2$을 갖는다.

그러므로 두 경우 모두 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(t)=t^2$이다. 따라서 $\displaystyle g(t)=t^2$이다.

[논제2] [논제1]과 마찬가지 방법으로 $\displaystyle t\ge\frac12$일 때,• $\displaystyle x\ge t$이면 $\displaystyle f(x)=x^2+x-t=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-t$의 최솟값은 $\displaystyle f(t)=t^2$,• $\displaystyle x\le t$이면 $\displaystyle f(x)=x^2-x+t=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14+t$의 최솟값은 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=t-\frac14$$\displaystyle t^2\ge t-\frac14$이므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle t-\frac14$이다. 따라서 $\displaystyle g(t)=t-\frac14$이다.$\displaystyle t\le-\frac12$일 때, $\displaystyle -t\ge\frac12$이므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle -t-\frac14$이다. 따라서 $\displaystyle g(t)=-t-\frac14$이다. 정리하면

$\displaystyle g(t)=\begin{cases}-t-\frac14&(t\le-\frac12)\\t^2&(-\frac12<t<\frac12)\\t-\frac14&(t\ge\frac12)\end{cases}$이고 $\displaystyle g^{\prime}(t)=\begin{cases}-1&(t\le-\frac12)\\2t&(-\frac12<t<\frac12)\\1&(t\ge\frac12)\end{cases}$

함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$는 원점에 대칭이므로$\displaystyle \int_{-1}^1\{\ln(|g^{\prime}(t)|+1)\}^2\,dt=2\int_0^{\frac12}\{\ln(2t+1)\}^2\,dt+2\int_{\frac12}^1(\ln2)^2\,dt$이다. 치환적분법과 부분적분법(2회)을 활용하면$\displaystyle 2\int_0^{\frac12}\{\ln(2t+1)\}^2\,dt=\int_1^2(\ln u)^2\,du=2(\ln2)^2-4\ln2+2$이므로$\displaystyle \int_{-1}^1\{\ln(|g^{\prime}(t)|+1)\}^2\,dt=3(\ln2)^2-4\ln2+2$

[논제3] 함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=x_0$에서 극값을 가지면 함수 $\displaystyle n(k)$는 $\displaystyle k=h(x_0)$에서 불연속이다. 사차함수의 그래프의 개형과 주어진 조건에 의하여 $\displaystyle h(x)$의 극값은 $\displaystyle 3$개이고, 세 극값 중 극솟값이 동일하다. (아래 그림)

$\displaystyle n(k)$가 특히, $\displaystyle k=0$에서 불연속이고 $\displaystyle h(x)$의 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$이므로$\displaystyle h(x)=(x-1)^2(x-s)^2$의 꼴이고 ($\displaystyle s$는 상수), $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\frac{s+1}2$에서 극댓값을 갖는다.

또한 $\displaystyle n(k)$가 $\displaystyle k=1$에서 불연속이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\frac{s+1}2$에서 극댓값 $\displaystyle 1$을 갖는다. 따라서$\displaystyle h\left(\frac{s+1}2\right)=\left(\frac{s-1}2\right)^4=1$

에서 $\displaystyle s=3$ 또는 $\displaystyle s=-1$이다. $\displaystyle h(-1)\ne g(0)=0$이므로 $\displaystyle h(x)=(x-1)^2(x-3)^2$이고 $\displaystyle h(4)=9$이다.