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자연계열 1번

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단국대 2025학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2025su_pm/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때,∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx=∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)에 대하여 a=g(α),b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),b=g(\beta)일 때 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

(다) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고 f′(x),g′(x)\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 실수 a\displaystyle a에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이라고 한다.(ⅰ) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 정의되어 있다.(ⅱ) 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)가 존재한다.(ⅲ) lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 연속이 아닐 때, f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 불연속이라고 한다.

실수 t\displaystyle t에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=x2+∣x−t∣\displaystyle f(x)=x^2+|x-t|의 최솟값을 g(t)\displaystyle g(t)라 하자.사차함수 h(x)\displaystyle h(x)는 최고차항의 계수가 1\displaystyle 1이고 h(1)=0\displaystyle h(1)=0, h(−1)≠g(0)\displaystyle h(-1)\ne g(0)이다.

[논제 1] −12<t<12\displaystyle -\frac12<t<\frac12일 때, g(t)\displaystyle g(t)를 구하시오. (15점)

[논제 2] ∫−11[ln⁡(∣g′(t)∣+1)]2 dt\displaystyle \int_{-1}^1[\ln(|g^{\prime}(t)|+1)]^2\,dt의 값을 구하시오. (20점)

[논제 3] 실수 k\displaystyle k에 대하여, x\displaystyle x축에 평행한 직선 y=k\displaystyle y=k와 곡선 y=h(x)\displaystyle y=h(x)의 교점의 개수를 n(k)\displaystyle n(k)라 하자. 함수 n(k)\displaystyle n(k)가 k=0\displaystyle k=0과 k=1\displaystyle k=1에서만 불연속일 때, h(4)\displaystyle h(4)의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2025학년도 수시 (오후) 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2025su_pm/jayeon_1

[논제1] −12<t<12\displaystyle -\frac12<t<\frac12이므로

+6점 · 구간 t≤x<12\displaystyle t\le x<\frac12에서의 최솟값 f(t)=t2\displaystyle f(t)=t^2을 제시

• x≥t\displaystyle x\ge t이면 f(x)=x2+x−t=(x+12)2−14−t\displaystyle f(x)=x^2+x-t=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-t는 x=t\displaystyle x=t에서 최솟값 f(t)=t2\displaystyle f(t)=t^2을 갖는다.

+6점 · 구간 −12<x≤t\displaystyle -\frac12<x\le t에서의 최솟값 f(t)=t2\displaystyle f(t)=t^2을 제시

• x≤t\displaystyle x\le t이면 f(x)=x2−x+t=(x−12)2−14+t\displaystyle f(x)=x^2-x+t=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14+t는 x=t\displaystyle x=t에서 최솟값 f(t)=t2\displaystyle f(t)=t^2을 갖는다.

+3점 · 정답 g(t)=t2\displaystyle g(t)=t^2을 제시

그러므로 두 경우 모두 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값은 f(t)=t2\displaystyle f(t)=t^2이다. 따라서 g(t)=t2\displaystyle g(t)=t^2이다.

+6점 · t≤−12\displaystyle t\le-\frac12일 때 g(t)=−t−14\displaystyle g(t)=-t-\frac14이고 t≥12\displaystyle t\ge\frac12일 때 g(t)=t−14\displaystyle g(t)=t-\frac14임을 제시

[논제2] [논제1]과 마찬가지 방법으로 t≥12\displaystyle t\ge\frac12일 때,• x≥t\displaystyle x\ge t이면 f(x)=x2+x−t=(x+12)2−14−t\displaystyle f(x)=x^2+x-t=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14-t의 최솟값은 f(t)=t2\displaystyle f(t)=t^2,• x≤t\displaystyle x\le t이면 f(x)=x2−x+t=(x−12)2−14+t\displaystyle f(x)=x^2-x+t=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14+t의 최솟값은 f(12)=t−14\displaystyle f\left(\frac12\right)=t-\frac14t2≥t−14\displaystyle t^2\ge t-\frac14이므로 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값은 t−14\displaystyle t-\frac14이다. 따라서 g(t)=t−14\displaystyle g(t)=t-\frac14이다.t≤−12\displaystyle t\le-\frac12일 때, −t≥12\displaystyle -t\ge\frac12이므로 f(x)\displaystyle f(x)의 최솟값은 −t−14\displaystyle -t-\frac14이다. 따라서 g(t)=−t−14\displaystyle g(t)=-t-\frac14이다. 정리하면

+4점 · g′(t)={−1(t≤−12)2t(−12<t<12)1(t≥12)\displaystyle g^{\prime}(t)=\begin{cases}-1&(t\le-\frac12)\\2t&(-\frac12<t<\frac12)\\1&(t\ge\frac12)\end{cases}을 제시

g(t)={−t−14(t≤−12)t2(−12<t<12)t−14(t≥12)\displaystyle g(t)=\begin{cases}-t-\frac14&(t\le-\frac12)\\t^2&(-\frac12<t<\frac12)\\t-\frac14&(t\ge\frac12)\end{cases}이고 g′(t)={−1(t≤−12)2t(−12<t<12)1(t≥12)\displaystyle g^{\prime}(t)=\begin{cases}-1&(t\le-\frac12)\\2t&(-\frac12<t<\frac12)\\1&(t\ge\frac12)\end{cases}

+10점 · ∫−11{ln⁡(∣g′(t)∣+1)}2 dt=3(ln⁡2)2−4ln⁡2+2\displaystyle \int_{-1}^1\{\ln(|g^{\prime}(t)|+1)\}^2\,dt=3(\ln2)^2-4\ln2+2임을 제시

함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)는 원점에 대칭이므로∫−11{ln⁡(∣g′(t)∣+1)}2 dt=2∫012{ln⁡(2t+1)}2 dt+2∫121(ln⁡2)2 dt\displaystyle \int_{-1}^1\{\ln(|g^{\prime}(t)|+1)\}^2\,dt=2\int_0^{\frac12}\{\ln(2t+1)\}^2\,dt+2\int_{\frac12}^1(\ln2)^2\,dt이다. 치환적분법과 부분적분법(2회)을 활용하면2∫012{ln⁡(2t+1)}2 dt=∫12(ln⁡u)2 du=2(ln⁡2)2−4ln⁡2+2\displaystyle 2\int_0^{\frac12}\{\ln(2t+1)\}^2\,dt=\int_1^2(\ln u)^2\,du=2(\ln2)^2-4\ln2+2이므로∫−11{ln⁡(∣g′(t)∣+1)}2 dt=3(ln⁡2)2−4ln⁡2+2\displaystyle \int_{-1}^1\{\ln(|g^{\prime}(t)|+1)\}^2\,dt=3(\ln2)^2-4\ln2+2

+8점 · h(x)\displaystyle h(x)의 극솟값은 0\displaystyle 0, 극댓값은 1\displaystyle 1임을 제시

[논제3] 함수 h(x)\displaystyle h(x)가 x=x0\displaystyle x=x_0에서 극값을 가지면 함수 n(k)\displaystyle n(k)는 k=h(x0)\displaystyle k=h(x_0)에서 불연속이다. 사차함수의 그래프의 개형과 주어진 조건에 의하여 h(x)\displaystyle h(x)의 극값은 3\displaystyle 3개이고, 세 극값 중 극솟값이 동일하다. (아래 그림)

극솟값 0과 극댓값 1을 갖는 사차함수 h의 개형
+6점 · h(x)=(x−1)2(x−s)2\displaystyle h(x)=(x-1)^2(x-s)^2 형태임을 제시

n(k)\displaystyle n(k)가 특히, k=0\displaystyle k=0에서 불연속이고 h(x)\displaystyle h(x)의 최고차항의 계수가 1\displaystyle 1이므로h(x)=(x−1)2(x−s)2\displaystyle h(x)=(x-1)^2(x-s)^2의 꼴이고 (s\displaystyle s는 상수), h(x)\displaystyle h(x)는 x=s+12\displaystyle x=\frac{s+1}2에서 극댓값을 갖는다.

+4점 · h(s+12)=(s−12)4=1\displaystyle h\left(\frac{s+1}2\right)=\left(\frac{s-1}2\right)^4=1임을 제시

또한 n(k)\displaystyle n(k)가 k=1\displaystyle k=1에서 불연속이므로 h(x)\displaystyle h(x)는 x=s+12\displaystyle x=\frac{s+1}2에서 극댓값 1\displaystyle 1을 갖는다. 따라서h(s+12)=(s−12)4=1\displaystyle h\left(\frac{s+1}2\right)=\left(\frac{s-1}2\right)^4=1

+2점 · h(4)=9\displaystyle h(4)=9임을 제시

에서 s=3\displaystyle s=3 또는 s=−1\displaystyle s=-1이다. h(−1)≠g(0)=0\displaystyle h(-1)\ne g(0)=0이므로 h(x)=(x−1)2(x−3)2\displaystyle h(x)=(x-1)^2(x-3)^2이고 h(4)=9\displaystyle h(4)=9이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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