자연계열 1번

[문제 1-1]

(1) 암에 걸리는 사건을 $\displaystyle A$, 암에 걸리지 않는 사건을 $\displaystyle A^{c}$, 암이라고 진단받는 사건을 $\displaystyle B$라고 두면, 암이라고 진단받았을 때 실제 암에 걸렸을 확률은

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( A | B ) = \frac{{\mathrm{P}} ( B \cap A )}{{\mathrm{P}} ( B )} = \frac{{\mathrm{P}} ( B | A ) {\mathrm{P}} ( A )}{{\mathrm{P}} ( B )} = \frac{{\mathrm{P}} ( B | A ) {\mathrm{P}} ( A )}{{\mathrm{P}} ( B | A ) {\mathrm{P}} ( A ) + {\mathrm{P}} \left( B | A^{c} \right) {\mathrm{P}} \left( A^{c} \right)}$

(2) 암에 걸린 사람이 암으로 진단받을 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B | A ) {\mathrm{P}} ( A ) = \frac{20}{200} \times \frac{75}{100} = \frac{75}{1000}$

(3) 암에 걸리지 않은 사람이 암으로 진단받을 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( B | A^{c} \right) {\mathrm{P}} \left( A^{c} \right) = \frac{180}{200} \times \frac{5}{100} = \frac{45}{1000}$

(4) 암이라고 진단받을 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B ) = \frac{75}{1000} + \frac{45}{1000} = \frac{120}{1000}$

(5) 암이라고 진단받은 경우 실제로 암에 걸렸을 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A | B ) = \frac{75}{1000} / \frac{120}{1000} = \frac{5}{8}$

[문제 1-2]

(1) $\displaystyle A$의사가 조사한 표본으로 $\displaystyle 95 \ \%$신뢰도로 추정한 모평균 $\displaystyle m$의 신뢰구간의 길이

표본의 크기 $\displaystyle a$, 표본표준편차 $\displaystyle 22 , a$가 충분히 크므로 모표준편차 대신에 표본표준편차 $\displaystyle 22$를 이용하여 $\displaystyle 95 \ \%$신뢰도로 추정한 모평균 $\displaystyle m$의 신뢰구간의 길이

$\displaystyle 2 \times 2.0 \times \frac{22}{\sqrt{a}} , 2.0$은$\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \le Z \le 2.0 ) = 0.475$에서$\displaystyle {\mathrm{P}} ( | Z | \le 2.0 ) = 2 \times 0.475 = 0.95$

(2) $\displaystyle B$의사가 조사한 샘플로 $\displaystyle 99 \ \%$신뢰도로 추정한 모평균 $\displaystyle n$의 신뢰구간의 길이

표본의 크기 $\displaystyle b$, 표본표준편차 $\displaystyle 20 , b$가 충분히 크므로 모표준편차 대신에 표본표준편차 $\displaystyle 20$을 이용하여 $\displaystyle 99 \ \%$신뢰도로 추정한 모평균 $\displaystyle n$의 신뢰구간의 길이

$\displaystyle 2 \times 2.6 \times \frac{20}{\sqrt{b}} , 2.6$은$\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \le Z \le 2.6 ) = 0.495$에서$\displaystyle {\mathrm{P}} ( | Z | \le 2.6 ) = 2 \times 0.495 = 0.99$

(3) 이때, 두 신뢰구간의 길이가 같으므로, $\displaystyle 2 \times 2.0 \times \frac{22}{\sqrt{a}} = 2 \times 2.6 \times \frac{20}{\sqrt{b}}$

$\displaystyle \frac{121}{a} = \frac{169}{b}$

(4) $\displaystyle A$의사와 $\displaystyle B$의사가 $\displaystyle 290$개의 샘플을 각각 $\displaystyle a$개와 $\displaystyle b$개로 나누었으므로 $\displaystyle a + b = 290$

(5) ③에서 얻은 식 $\displaystyle 121 b = 169 a$, ④에서 얻은 식 $\displaystyle a + b = 290$을 연립하여 풀면 $\displaystyle a = 121 , b = 169$

(6) 신뢰도 $\displaystyle 95 \ \%$에서 모평균 $\displaystyle m$의 신뢰구간

$\displaystyle 60 - 2 \times \frac{22}{\sqrt{121}} \le m \le 60 + 2 \times \frac{22}{\sqrt{121}} ,$즉$\displaystyle 56 \le m \le 64$

(7) 신뢰도 $\displaystyle 99 \ \%$에서 모평균 $\displaystyle n$의 신뢰구간

$\displaystyle 62 - 2.6 \times \frac{20}{\sqrt{169}} \le n \le 62 + 2.6 \times \frac{20}{\sqrt{169}} ,$즉$\displaystyle 58 \le n \le 66$

[문제 1-3]

(1) 집에서 병원까지의 거리를 확률변수 $\displaystyle X$라 두면, $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 1500 , 500^{2} \right)$을 따른다.

(2) 집에서 병원까지의 거리가 $\displaystyle 2 , 000 {\mathrm{m}}$이상일 확률

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( X \ge 2000 ) = {\mathrm{P}} \left( Z \ge \frac{2000 - 1500}{500} \right) = {\mathrm{P}} ( Z \ge 1 ) = 0.5 - {\mathrm{P}} ( 0 \le Z \le 1 ) = 0.16$

(3) 집에서 병원까지의 거리가 $\displaystyle 2 , 000 m$미만일 확률 $\displaystyle 1 - 0.16 = 0.84$

(4) 원격 진료를 선호한다고 응답할 확률은 $\displaystyle 0.16 \times 0.2 + 0.84 \times 0.05$

(5) 원격진료를 선호한다고 응답할 사건을 $\displaystyle A$, 거리가 $\displaystyle 2 , 000 m$미만일 사건을 $\displaystyle B$라고 하면 조건부 확률 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( B | A )$를 구하면 된다.

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( B | A ) = \frac{{\mathrm{P}} ( A \cap B )}{{\mathrm{P}} ( A )} = \frac{0.05 \times 0.84}{0.16 \times 0.2 + 0.84 \times 0.05} = \frac{21}{37}$