자연계열 3번

[문제 3-1]

(가) 조건에서 $\displaystyle \int_{0}^{a} g ( x ) d x + b = k$로 두면 $\displaystyle \int_{0}^{x} g ( t ) d t = x^{2} e^{x} + k \left( x e^{x} - e^{x} + 1 \right)$이 되고,

(나) 조건을 이용하여 $\displaystyle x = 1$을 대입하면,

$\displaystyle \int_{0}^{1} g ( t ) d t = e + k ( e - e + 1 ) = e + k = e - 2$가 되어 $\displaystyle k = - 2\cdots \cdots$ (9)

(가) 식은

$\displaystyle \int_{0}^{x} g ( t ) d t = x^{2} e^{x} - 2 \left( x e^{x} - e^{x} + 1 \right)$이 된다.

이 식의 양변을 미분하면

$\displaystyle g ( x ) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 2 \left( e^{x} + x e^{x} - e^{x} \right) = x^{2} e^{x}\cdots \cdots$ (10)

[문제 3-2]

조건에 따라 $\displaystyle h ( x ) = \frac{g ( x )}{e^{2 x}} = x^{2} e^{- x}$가 된다.

이 함수 그래프의 개형은 아래와 같이 그릴 수 있다.

먼저 도함수는 $\displaystyle h ^{\prime} ( x ) = 2 x e^{- x} + x^{2} \left( - e^{- x} \right) = x ( 2 - x ) e^{- x}$이므로

$\displaystyle x = 0 , x = 2$에서 도함수의 값이 $\displaystyle 0$이 되므로 극값이 존재할 수 있다. $\displaystyle \cdots \cdots$ (11)

이어서 이계도함수는 $\displaystyle h ^{\prime\prime} ( x ) = ( - 2 x + 2 ) e^{- x} + \left( 2 x - x^{2} \right) \left( - e^{- x} \right) = \left( x^{2} - 4 x + 2 \right) e^{- x}$

$\displaystyle x = \frac{4 ± \sqrt{4^{2} - 4 \times 1 \times 2}}{2} = 2 ± \sqrt{2}$에서

이계도함수의 값이 $\displaystyle 0$이 되므로 변곡점이 존재할 수 있다. $\displaystyle \cdots \cdots$ (12)

이를 통해 곡선의 개형을 파악해 보면 아래 표와 같다.

따라서, $\displaystyle y = h ( x )$그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

[문제 3-3]

$\displaystyle \int_{k}^{k + 1} h ( x ) d x$의 값이 최대가 되는 양의 정수 $\displaystyle k$를 구한다는 의미는 아래 그림에서 각 영역(영역 ①, ②, ③, ④ 등)에서 면적의 크기가 가장 크게 만드는 양의 정수를 구하는 것과 같다.

$\displaystyle k \ge 4$이면 영역의 넓이가 지속적으로 감소한다.

따라서, $\displaystyle k = 1 , 2 , 3$중 하나에서 최댓값을 갖는 항이 나타난다.

그래프 개형을 고려할 때, 극대점 양쪽에서 항의 크기가 최대가 될 수 있으므로,

$\displaystyle k = 1$or $\displaystyle k = 2\cdots \cdots\cdots \cdots$(14)

부분적분법을 활용하여 부정적분을 구하면

$\displaystyle \int x^{2} e^{- x} d x = x^{2} \left( - e^{- x} \right) - \int 2 x \left( - e^{- x} \right) d x$

$\displaystyle = x^{2} \left( - e^{- x} \right) + 2 \int x e^{- x} d x = x^{2} \left( - e^{- x} \right) + 2 \left\{ x \left( - e^{- x} \right) - \int \left( - e^{- x} \right) d x \right\}$

$\displaystyle = x^{2} \left( - e^{- x} \right) + 2 \left\{ x \left( - e^{- x} \right) - \left( e^{- x} \right) \right\} + C$

$\displaystyle = - \left( x^{2} + 2 x + 2 \right) e^{- x} + C\cdots \cdots\cdots \cdots$(15)

$\displaystyle k = 1$일 때 ,$\displaystyle \int_{1}^{2} x^{2} e^{- x} d x = \Biggl[ - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} \Biggr]_{1}^{2} = 5 e^{- 1} - 10 e^{- 2} = 0.49$

$\displaystyle k = 2$일 때 ,$\displaystyle \int_{2}^{3} x^{2} e^{- x} d x = \Biggl[ - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} \Biggr]_{2}^{3} = 10 e^{- 2} - 17 e^{- 3} = 0.5$

두 값을 비교하면 $\displaystyle k = 2$일 때 최대이다. $\displaystyle \cdots \cdots\cdots \cdots$(16)