자연계열 2번

[문제 2-1]

(1) 도함수의 정의를 이용하여,

$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x h} f ( x ) f ( h ) - f ( x )}{h}= f ( x ) \times \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x h} f ( h ) - 1}{h}$

$\displaystyle = f ( x ) \times \lim_{h \rightarrow 0} \left\{ \frac{e^{x h} ( f ( h ) - 1 ) + \left( e^{x h} - 1 \right)}{h} \right\}\cdots \cdots \cdots$(1)

$\displaystyle = f ( x ) \times \lim_{h \rightarrow 0} \left\{ \frac{e^{x h} ( f ( h ) - 1 )}{h} + \frac{e^{x h} - 1}{h} \right\}\cdots \cdots \cdots$(1a)

$\displaystyle = f ( x ) \times \lim_{h \rightarrow 0} \left\{ \frac{e^{x h} ( f ( h ) - f ( 0 ) )}{h} + \frac{e^{x h} - 1}{x h} x \right\}( f ( x + y ) = e^{x y} f ( x ) f ( y )$에서$\displaystyle x = 0 , y = 0$을 넣으면$\displaystyle f ( 0 ) = f ( 0 ) \times f ( 0 )$이고$\displaystyle f ( 0 ) > 0$이므로$\displaystyle f ( 0 ) = 1 )$

$\displaystyle = f ( x ) \left( f ^{\prime} ( 0 ) + x \right) = f ( x ) ( 1 + x )\cdots \cdots \cdots$(2)

$\displaystyle \therefore f ^{\prime} ( x ) = f ( x ) ( 1 + x ) \rightarrow \frac{f ^{\prime} ( x )}{f ( x )} = 1 + x\cdots \cdots \cdots$(2a)

[문제 2-2]

$\displaystyle \frac{f ^{\prime} ( x )}{f ( x )} = 1 + x$에서 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 적분하면

$\displaystyle {\ln} f ( x ) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C\cdots \cdots \cdots$ (3)

위의에서 $\displaystyle f ( 0 ) > 0$이고, $\displaystyle f ( 0 ) = 1$이므로 $\displaystyle C = 0$

$\displaystyle {\ln} f ( x ) = \frac{1}{2} x^{2} + x$이고 $\displaystyle \therefore f ( x ) = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x}\cdots \cdots \cdots$(4)

[문제 2-3]

$\displaystyle 0 \le x \le 2 \pi$에서 $\displaystyle f ( {\sin} x ) \cdot f ( {\cos} x ) = e^{\frac{1}{2} {\sin}^{2} x + {\sin} x} \cdot e^{\frac{1}{2} {\cos}^{2} x + {\cos} x}$

$\displaystyle = e^{\frac{1}{2} \left( {\sin}^{2} x + {\cos}^{2} x \right) + {\sin} x + {\cos} x} = e^{\left( \frac{1}{2} + {\sin} x + {\cos} x \right)}\cdots \cdots \cdots$(5)

이 함수의 개형은 아래와 같이 얻을 수 있다.

도함수는 $\displaystyle ( {\cos} x - {\sin} x ) e^{\frac{1}{2} + {\sin} x + {\cos} x}$이며

$\displaystyle {\cos} x = {\sin} x$일 때 즉, $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$또는 $\displaystyle x = \frac{5}{4} \pi$에서 극값이 존재할 수 있다. $\displaystyle \cdots$ (6)

$\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$에서 도함수의 부호가 양에서 음으로 변화하므로 극댓값 $\displaystyle e^{\frac{1}{2} + \sqrt{2}}$를 $\displaystyle \text{가진다.}\cdots$(7)

$\displaystyle x = \frac{5}{4} \pi$에서 도함수의 부호가 음에서 양으로 변화하므로 극솟값 $\displaystyle e^{\frac{1}{2} - \sqrt{2}}$를 가진다$\displaystyle \cdots$(8)