자연계열 1번

$\displaystyle 1 \le n \le 6$에서 공차가 $\displaystyle d \ge 0$이면 $\displaystyle \left| S_{n} \right| = S_{n}$이고 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{6} \left( \left| S_{n} \right| - S_{n} \right) = 34$에 모순이 되므로 공차는 $\displaystyle d < 0$이어야 한다. $\displaystyle \cdots \cdots$(1)

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{6} \left( \left| S_{n} \right| - S_{n} \right) = 34$가 되려면 $\displaystyle S_{n} < 0$인 값의 합이 $\displaystyle - 17$이 되어야 한다. $\displaystyle \cdots \cdots$(2)

공차 $\displaystyle d$가 $\displaystyle - 3$이고, 첫째항 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$인 경우 $\displaystyle S_{n} = \frac{n}{2} ( - 3 n + 9 )$이다. $\displaystyle \cdots \cdots$(3)

$\displaystyle S_{n} \ge 0$인 경우 $\displaystyle n = 1 , 2 , 3$이고 $\displaystyle S_{n} < 0$인 경우 $\displaystyle n = 4 , 5 , 6$이다. $\displaystyle \cdots \cdots$(3)-1

이 경우, $\displaystyle \sum_{n = 4}^{6} \frac{1}{2} \left( - 3 n^{2} + 9 n \right) = - 48$이어서 ②를 만족하지 않는다. $\displaystyle \cdots \cdots$(3)-2

공차 $\displaystyle d$가 $\displaystyle - 2$이고, 첫째항 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$인 경우 $\displaystyle S_{n} = n ( - n + 4 )$이다. $\displaystyle \cdots \cdots$(4)

$\displaystyle S_{n} \ge 0$인 경우 $\displaystyle n = 1 , 2 , 3 , 4$이고 $\displaystyle S_{n} < 0$인 경우 $\displaystyle n = 5 , 6$이다. $\displaystyle \cdots \cdots$(4)-1

이 경우, $\displaystyle \sum_{n = 5}^{6} \left( - n^{2} + 4 n \right) = - 17$이어서 ②를 만족한다. $\displaystyle \cdots \cdots$(4)-2

공차 $\displaystyle d$가 $\displaystyle - 1$이고, 첫째항 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$인 경우 $\displaystyle S_{n} = \frac{n}{2} ( - n + 7 )$이다. $\displaystyle \cdots \cdots$(5)

$\displaystyle S_{n} \ge 0$인 경우 $\displaystyle n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$이고 $\displaystyle S_{n} < 0$인 경우는 문제의 조건에 존재하지 않는다. $\displaystyle \cdots \cdots$(5)

따라서 주어진 조건을 만족하는 것은 공차 $\displaystyle d$가 $\displaystyle - 2$이고, 첫째항 $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$인 경우로 수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$의

일반항은 $\displaystyle a_{n} = - 2 n + 5$이다. $\displaystyle \cdots \cdots$(5)-1