동덕여대 2025학년도 모의 자연계열 3번 해설

다음 문제를 읽고 문항별로 구체적인 풀이과정과 답을 제시하시오. [ $\displaystyle 70$ 점]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 임의의 실수 $\displaystyle x$ 에 대해

$\displaystyle f ( x ) = x^{2} - \int_{0}^{x} ( x - t ) f ^{\prime} ( t ) d t$ 를 만족시킬 때, 다음의 물음에 답하시오.

(1) 함수 $\displaystyle f ( x )$ 를 구하시오. (이 때, $\displaystyle e^{x} f ( x )$ 의 미분을 이용하시오.) ( $\displaystyle 45$ 점)

(2) 함수 $\displaystyle f ( x )$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{- 1}^{1} 2 x f ( x ) d x$ 의 값을 구하시오. ( $\displaystyle 25$ 점)

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[문제 3-1]

$\displaystyle f ( x ) = x^{2} - \int_{0}^{x} ( x - t ) f ^{\prime} ( t ) d t = x^{2} - x \int_{0}^{x} f ^{\prime} ( t ) d t + \int_{0}^{x} t f ^{\prime} ( t ) d t\cdots \cdots$ (1)

에서 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하면

$\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = 2 x - \int_{0}^{x} f ^{\prime} ( t ) d t - x f ^{\prime} ( x ) + x f ^{\prime} ( x ) = 2 x - \int_{0}^{x} f ^{\prime} ( t ) d t$

$\displaystyle = 2 x - \Biggl[ f ( t ) \Biggr]_{0}^{x} = 2 x - f ( x ) + f ( 0 ) = 2 x - f ( x )\cdots \cdots$ (2) ( ( 1 ) 에 $\displaystyle x = 0$ 을 대입하면 , $\displaystyle f ( 0 ) = 0 )$

$\displaystyle \left( e^{x} f ( x ) \right) ^{\prime} = e^{x} f ( x ) + e^{x} f ^{\prime} ( x ) = e^{x} f ( x ) + e^{x} 2 x - e^{x} f ( x ) = 2 x e^{x}\cdots \cdots$ (3)

$\displaystyle e^{x} f ( x ) = \int 2 x e^{x} d x = 2 x e^{x} - \int 2 e^{x} d x = 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C\cdots \cdots$ (4)

$\displaystyle f ( x ) = 2 x - 2 + C e^{- x}$ , $\displaystyle f ( 0 ) = 0$ 이므로 $\displaystyle C = 2$

$\displaystyle f ( x ) = 2 x - 2 + 2 e^{- x}\cdots \cdots$ (5)

[문제 3-2]

$\displaystyle \int_{- 1}^{1} 2 x f ( x ) d x = \int_{- 1}^{1} \left( 4 x e^{- x} + 4 x^{2} - 4 x \right) d x = 4 \int_{- 1}^{1} \left( x e^{- x} + x^{2} - x \right) d x\cdots \cdots$ (6)

$\displaystyle = 4 \Biggl[ - x e^{- x} - e^{- x} + \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} \Biggr]_{- 1}^{1}\cdots \cdots$ (7)

$\displaystyle = 4 \left[ \left( - e^{- 1} - e^{- 1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - \left( e - e - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \right]\cdots \cdots$ (8)

$\displaystyle = 4 \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{e} \right) = \frac{8}{3} - \frac{8}{e}\cdots \cdots$ (9)

하위 문항	채점 기준	배점
(1)	함수를 변형하여 관계식 (1)을 구하고, 미분하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle f(x)$ 의 관계식 (2)를 얻고, 주어진 관계식 (3)을 미분하여, 부분적분(4)을 구한 뒤 상수까지 결정하여 $\displaystyle f(x)$ (5)를 구한 경우	45
(1)	함수를 변형하여 관계식 (1)을 구하고, 미분하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle f(x)$ 의 관계식 (2)를 얻고, 주어진 관계식 (3)을 미분하여, 부분적분(4)을 구한 뒤 상수만 구하지 못한 경우	35
(1)	함수를 변형하여 관계식 (1)을 구하고, 미분하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle f(x)$ 의 관계식 (2)를 얻고, 주어진 관계식 (3)을 미분하였으나, 부분적분을 구하지 못한 경우	25
(1)	함수를 변형하여 관계식 (1)을 구하고, 미분하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle f(x)$ 의 관계식 (2)를 얻었으나, 주어진 관계식을 미분하지 못한 경우	15
(1)	함수를 변형하여 관계식 (1)만 구한 경우	5
(1)	문제의 의미를 알지 못함	0
(2)	주어진 함수식 (6)을 구하여 부분적분(7)을 구하고, 정적분 값을 계산한 과정(8)과 결과(9)가 모두 맞는 경우	25
(2)	주어진 함수식 (6)을 구하여 부분적분(7)을 구하고, 정적분 값을 계산한 과정(8)은 맞지만 결과(9)가 맞지 않는 경우	20
(2)	주어진 함수식 (6)을 구하여 부분적분(7)을 구하였으나, 정적분 값을 계산한 과정(8)과 결과(9)가 모두 맞지 않는 경우	15
(2)	주어진 함수식 (6)만 구한 경우	5
(2)	문제의 의미를 알지 못함	0

※ 채점 기준 충족 정도에 따라 부분점수가 부여될 수 있음

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자연계열 3번

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