자연계열 2번

$\displaystyle f ^{\prime} ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle f ( x )$는 단순 증가 함수이다.

$\displaystyle 0 \le x \le t$일 때 $\displaystyle | f ( t ) - f ( x ) | = f ( t ) - f ( x )$이며, $\displaystyle t < x \le \sqrt[3]{2}$일 때 $\displaystyle | f ( t ) - f ( x ) | = f ( x ) - f ( t )$이다.

따라서

$\displaystyle I ( t ) = \int_{0}^{\sqrt[3]{2}} x^{2} | f ( t ) - f ( x ) | d x$

$\displaystyle = \int_{0}^{t} x^{2} \left\{ f ( t ) - f ( x ) \right\} d x + \int_{t}^{\sqrt[3]{2}} x^{2} \left\{ f ( x ) - f ( t ) \right\} d x\cdots \cdots$(1)

$\displaystyle = f ( t ) \int_{0}^{t} x^{2} d x - \int_{0}^{t} x^{2} f ( x ) d x + \int_{t}^{\sqrt[3]{2}} x^{2} f ( x ) d x - f ( t ) \int_{t}^{\sqrt[3]{2}} x^{2} d x$

$\displaystyle = \frac{t^{3}}{3} f ( t ) - \left( \frac{2}{3} - \frac{t^{3}}{3} \right) f ( t ) - \int_{0}^{t} x^{2} f ( x ) d x + \int_{t}^{\sqrt[3]{2}} x^{2} f ( x ) d x$

$\displaystyle = \frac{2}{3} \left( t^{3} - 1 \right) f ( t ) - \int_{0}^{t} x^{2} f ( x ) d x + \int_{t}^{\sqrt[3]{2}} x^{2} f ( x ) d x\cdots \cdots$(2)

함수 $\displaystyle I ( t )$의 도함수를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle I ^{\prime} ( t ) = 2 t^{2} f ( t ) + \frac{2}{3} \left( t^{3} - 1 \right) f ^{\prime} ( t ) - t^{2} f ( t ) - t^{2} f ( t )$

$\displaystyle = \frac{2}{3} \left( t^{3} - 1 \right) f ^{\prime} ( t ) = \frac{2}{3} ( t - 1 ) \left( t^{2} + t + 1 \right) f ^{\prime} ( t )\cdots \cdots$(3)

$\displaystyle t^{2} + t + 1 > 0$이고 문제의 조건으로부터 $\displaystyle f ^{\prime} ( t ) > 0$이므로 $\displaystyle I ( t )$가 정의된 구간 내에서 $\displaystyle t = 1$에서만

$\displaystyle I ^{\prime} ( t )$가 $\displaystyle 0$이 된다. $\displaystyle \cdots \cdots$(4)

함수 $\displaystyle I ( t )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle t = 1$일 때 $\displaystyle I ( t )$가 최소가 된다. $\displaystyle \cdots \cdots$(5)