자연계열 1번

[문제 $\displaystyle 1 - 1$]

(1) $\displaystyle y = x^{2}$와 $\displaystyle y = \frac{a}{x + 3 a}$가 서로 다른 두 점에서 만나므로, 방정식 $\displaystyle x^{2} = \frac{a}{x + 3 a}$는 서로 다른 두 실근을 가진다.

(2) $\displaystyle x^{2} ( x + 3 a ) - a$를 $\displaystyle f ( x )$라 하면, $\displaystyle f ( x )$의 도함수 $\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = 3 x^{2} + 6 a x = 3 x ( x + 2 a ) = 0$이 되는 $\displaystyle x$좌표 는 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle - 2 a$이다.

(3) $\displaystyle f ( x ) = 0$이 서로 다른 두 근을 가지므로 $\displaystyle f ( x )$의 극댓값 혹은 극솟값이 $\displaystyle 0$이어야 한다.

극솟값이 $\displaystyle 0$인 경우 $\displaystyle f ( 0 ) = - a$이며 $\displaystyle a$는 양의 실수이므로 이 경우는 극값이 $\displaystyle 0$이 될 수 없다.

극댓값이 $\displaystyle 0$인 경우 $\displaystyle f ( - 2 a ) = 0$이어야 한다.

(4) $\displaystyle f ( - 2 a ) = ( - 2 a )^{2} ( - 2 a + 3 a ) - a = 4 a^{3} - a = 0$이다. 따라서 양의 실수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

[문제 $\displaystyle 1 - 2$]

(1) 문제 [$\displaystyle 1 - 1$]에서 구한 $\displaystyle a$를 $\displaystyle f ( x )$에 대입하면 $\displaystyle f ( x ) = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} = \left( x^{2} + 2 x + 1 \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)$

이다. 두 곡 선의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 각각 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

(2) $\displaystyle - 1 \le x \le \frac{1}{2}$의 구간에서 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} \frac{a}{x + 3 a} d x - \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x$이다.

(3) $\displaystyle \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} \frac{a}{x + 3 a} d x - \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x = \Biggl[ a \ln ( x + 3 a ) - \frac{1}{3} x^{3} \Biggr]_{- 1}^{\frac{1}{2}} = \Biggl[ \frac{1}{2} \ln \left( x + \frac{3}{2} \right) - \frac{1}{3} x^{3} \Biggr]_{- 1}^{\frac{1}{2}}$

(4) 따라서, 도형의 넓이는 $\displaystyle \ln 2 - \frac{3}{8}$이다.