동덕여대 2025학년도 수시 자연계열 2번 해설

[문제 $\displaystyle 2$ ] 다음 제시문을 읽고 구체적인 풀이과정과 답을 제시하시오. [ $\displaystyle 60$ 점]

(가) 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열의 일반항 $\displaystyle a_{n}$ 은 $\displaystyle a_{n} = a + ( n - 1 ) d ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 이다. 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle S_{n} = \frac{n ( 2 a + ( n - 1 ) d )}{2}$ 이다.

(나) 첫째항이 $\displaystyle 3$ 인 등차수열 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$ 에 대하여 $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle S_{5} = - 15$ 이다. 등차수열 $\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}$ 은 $\displaystyle b_{1} = 1$ 이고 $\displaystyle b_{2} + b_{4} = 18$ 이다. 원 $\displaystyle C_{k} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 는 중심이 $\displaystyle \mathrm{{O}_{k}} \left( a_{k} , b_{k} \right)$ 이고 반지름의 길이가 $\displaystyle r_{k} = \frac{1}{2} k + 1$ 인 원이다. 원 $\displaystyle C_{n}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{{O}_{n}}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{{O}_{n + 1}}$ 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{{PO}_{n}} \mathrm{{O}_{n + 1}}$ 의 넓이가 최대일 때, 그 삼각형의 넓이를 $\displaystyle T_{n}$ 이라 하자.

제시문(나)에서 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} T_{k} > 65$ 를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하시오.

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(1) $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$ 의 공차를 $\displaystyle d_{a}$ 라 하면 $\displaystyle S_{5} = - 15 = \frac{5 \left\{ 2 \times 3 + ( 5 - 1 ) d_{a} \right\}}{2}$ 이므로 $\displaystyle d_{a} = - 3$ 이고, $\displaystyle a_{n} = - 3 n + 6$ 이다.

(2) $\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}$ 의 공차를 $\displaystyle d_{b}$ 라 하면 $\displaystyle b_{2} + b_{4} = 2 b_{1} + 4 d_{b} = 2 + 4 d_{b} = 18$ 이므로 $\displaystyle d_{b} = 4$ 이고, $\displaystyle b_{n} = 4 n - 3$ 이다.

(3) 두 원 $\displaystyle C_{n}$ 과 $\displaystyle C_{n + 1}$ 의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{\left( d_{a} \right)^{2} + \left( d_{b} \right)^{2}} = \sqrt{( - 3 )^{2} + ( 4 )^{2}} = 5$ 로 일정하다.

(4) 삼각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 삼각형의 높이가 원 $\displaystyle C_{n}$ 의 반지름 길이와 같아야 하므로 $\displaystyle T_{n} = \frac{1}{2} \times 5 \times \left( \frac{1}{2} n + 1 \right) = \frac{5}{4} n + \frac{5}{2}$ 임을 알 수 있다.

(5) $\displaystyle T_{n}$ 은 첫째항이 $\displaystyle \frac{15}{4}$ 이고 공차가 $\displaystyle \frac{5}{4}$ 인 등차수열이므로, $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} T_{k} = \frac{n \times \left( 2 \times \frac{15}{4} + ( n - 1 ) \times \frac{5}{4} \right)}{2} = \frac{n}{2} \left( \frac{25}{4} + \frac{5}{4} n \right) = \frac{5}{8} n ( n + 5 )$ 임을 알 수 있다.

(6) 주어진 조건에 따라 $\displaystyle \frac{5}{8} n ( n + 5 ) > 65$ 를 정리하면 $\displaystyle ( n + 13 ) ( n - 8 ) > 0$ 이다.

(7) 따라서, 이를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값은 $\displaystyle 9$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
[문제 2]	(1)에서 (7)까지의 과정을 정확하게 계산하여 올바른 답을 제시한 경우	100
[문제 2]	(1)에서 (5)까지의 과정을 정확하게 계산하였으나, (6)과 같은 논리적 전개 과정을 통하지 않고 답만 제시한 경우	80
[문제 2]	(1)에서 (6)까지의 과정을 정확하게 계산하였으나, $\displaystyle n$ 의 최솟값을 제시하지 못하거나 틀린 경우	70
[문제 2]	(1)에서 (4)까지의 과정을 정확하게 계산하였으나, (5) 과정에 오류가 있어 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} T_{k}$ 를 구 하지 못하거나 잘못 도출하여 올바른 답을 제시하지 못한 경우	50
[문제 2]	(1)에서 (3)까지의 과정을 정확하게 계산하였으나, (4) 과정에 오류가 있어 $\displaystyle T_{n}$ 을 구하 지 못하거나 잘못 도출하여 올바른 답을 제시하지 못한 경우	30
[문제 2]	(1)에서 (2)까지의 과정을 정확하게 계산하였으나, (3) 과정에 오류가 있어 이웃한 두 원의 중심 사이의 거리를 구하지 못하거나 올바른 답을 제시하지 못한 경우	20
[문제 2]	(1) 또는 (2)의 과정 중 하나의 과정만 정확하게 계산한 경우	10
[문제 2]	문제의 의미를 알지 못함	0

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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