자연계열 2번

(1) $\displaystyle \left\{ a_{n} \right\}$의 공차를 $\displaystyle d_{a}$라 하면 $\displaystyle S_{5} = - 15 = \frac{5 \left\{ 2 \times 3 + ( 5 - 1 ) d_{a} \right\}}{2}$이므로 $\displaystyle d_{a} = - 3$이고, $\displaystyle a_{n} = - 3 n + 6$이다.

(2) $\displaystyle \left\{ b_{n} \right\}$의 공차를 $\displaystyle d_{b}$라 하면 $\displaystyle b_{2} + b_{4} = 2 b_{1} + 4 d_{b} = 2 + 4 d_{b} = 18$이므로 $\displaystyle d_{b} = 4$이고, $\displaystyle b_{n} = 4 n - 3$이다.

(3) 두 원 $\displaystyle C_{n}$과 $\displaystyle C_{n + 1}$의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{\left( d_{a} \right)^{2} + \left( d_{b} \right)^{2}} = \sqrt{( - 3 )^{2} + ( 4 )^{2}} = 5$로 일정하다.

(4) 삼각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 삼각형의 높이가 원 $\displaystyle C_{n}$의 반지름 길이와 같아야 하므로 $\displaystyle T_{n} = \frac{1}{2} \times 5 \times \left( \frac{1}{2} n + 1 \right) = \frac{5}{4} n + \frac{5}{2}$임을 알 수 있다.

(5) $\displaystyle T_{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{15}{4}$이고 공차가 $\displaystyle \frac{5}{4}$인 등차수열이므로, $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} T_{k} = \frac{n \times \left( 2 \times \frac{15}{4} + ( n - 1 ) \times \frac{5}{4} \right)}{2} = \frac{n}{2} \left( \frac{25}{4} + \frac{5}{4} n \right) = \frac{5}{8} n ( n + 5 )$임을 알 수 있다.

(6) 주어진 조건에 따라 $\displaystyle \frac{5}{8} n ( n + 5 ) > 65$를 정리하면 $\displaystyle ( n + 13 ) ( n - 8 ) > 0$이다.

(7) 따라서, 이를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle 9$이다.