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자연계열 3번

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동덕여대 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2025su/jayeon_3

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문제

[문제 3\displaystyle 3] 다음 문제를 읽고 구체적인 풀이과정과 답을 제시하시오. [70\displaystyle 70점]

함수 f(x)=e−x−1e4\displaystyle f ( x ) = e^{- x} - \frac{1}{e^{4}}, g(x)={x(x≥0)0(x<0)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases}x & ( x \ge 0 ) \\ 0 & ( x < 0 )\end{cases}에 대하여 h(x)=∫xx+2g(f(t))dt\displaystyle h ( x ) = \int_{x}^{x + 2} g ( f ( t ) ) d t이다.

(단, lim⁡x→0(1+x)1x=e\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} ( 1 + x )^{\frac{1}{x}} = e이다.)

제시문의 정적분을 구하여 x\displaystyle x의 구간에 따라 h(x)\displaystyle h ( x )를 제시한 후, h(1)−h(3)−h(5)\displaystyle h ( 1 ) - h ( 3 ) - h ( 5 )를 구하시오.

해설강의 준비중

동덕여대 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2025su/jayeon_3

[문제 3\displaystyle 3]

(1) g(f(t))={e−t−1e4(t≤4)0(t>4)\displaystyle g ( f ( t ) ) = \begin{cases}e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} & ( t \le 4 ) \\ 0 & ( t > 4 )\end{cases}

(2) x≤2\displaystyle x \le 2일 때

h(x)=∫xx+2g(e−t−1e4)dt=∫xx+2(e−t−1e4)dt=[−e−t−te4]xx+2=−e−x−2+e−x−2e4\displaystyle h ( x ) = \int_{x}^{x + 2} g \left( e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} \right) d t = \int_{x}^{x + 2} \left( e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} \right) d t = \Biggl[ - e^{- t} - \frac{t}{e^{4}} \Biggr]_{x}^{x + 2} = - e^{- x - 2} + e^{- x} - \frac{2}{e^{4}}

(3) 2<x≤4\displaystyle 2 < x \le 4일 때 g(e−t−1e4)\displaystyle g \left( e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} \right)가 t>4\displaystyle t > 4일 때 0\displaystyle 0이므로

h(x)=∫xx+2g(e−t−1e4)dt=∫x4(e−t−1e4)dt=[−e−t−te4]x4=e−x+x−5e4\displaystyle h ( x ) = \int_{x}^{x + 2} g \left( e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} \right) d t = \int_{x}^{4} \left( e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} \right) d t = \Biggl[ - e^{- t} - \frac{t}{e^{4}} \Biggr]_{x}^{4} = e^{- x} + \frac{x - 5}{e^{4}}

(4) x>4\displaystyle x > 4일 때 g(e−t−1e4)\displaystyle g \left( e^{- t} - \frac{1}{e^{4}} \right)가 모든 적분 구간에서 0\displaystyle 0이므로 h(x)=0\displaystyle h ( x ) = 0

(5) 따라서 h(x)={−e−x−2+e−x−2e4(x≤2)e−x+x−5e4(2<x≤4)0(x>4)\displaystyle h ( x ) = \begin{cases}- e^{- x - 2} + e^{- x} - \frac{2}{e^{4}} & ( x \le 2 ) \\ e^{- x} + \frac{x - 5}{e^{4}} & ( 2 < x \le 4 ) \\ 0 & ( x > 4 )\end{cases}

(6) h(1)=−1e3+1e−2e4\displaystyle h ( 1 ) = - \frac{1}{e^{3}} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e^{4}}

(7) h(3)=1e3−2e4\displaystyle h ( 3 ) = \frac{1}{e^{3}} - \frac{2}{e^{4}}

(8) h(5)=0\displaystyle h ( 5 ) = 0

(9) 따라서 h(1)−h(3)−h(5)=1e−2e3\displaystyle h ( 1 ) - h ( 3 ) - h ( 5 ) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e^{3}}

하위 문항채점 기준배점
[문제 3]h(x)\displaystyle h(x)와 h(1)−h(3)−h(5)\displaystyle h(1)-h(3)-h(5)를 모두 구하여 답안으로 제시한 경우
[문제 3]예시 답안의 (5)와 (9)를 아래와 같이 정확히 제시한 경우 (5) h(x)={−e−x−2+e−x−2e4(x≤2)e−x+x−5e4(2<x≤4)0(x>4)\displaystyle h ( x ) = \begin{cases}- e^{- x - 2} + e^{- x} - \frac{2}{e^{4}} & ( x \le 2 ) \\ e^{- x} + \frac{x - 5}{e^{4}} & ( 2 < x \le 4 ) \\ 0 & ( x > 4 )\end{cases} (9) h(1)−h(3)−h(5)=1e−2e3\displaystyle h ( 1 ) - h ( 3 ) - h ( 5 ) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e^{3}}100
[문제 3]예시 답안의 (5)는 정확히 제시했으나 계산 오류로 (9)를 정확히 구하지 못한 경우85
[문제 3]예시 답안 (5)의 3\displaystyle 3개 구간 중 2\displaystyle 2개 구간에서는 h(x)\displaystyle h ( x )를 정확히 구했으나 1\displaystyle 1개 구간의 h(x)\displaystyle h ( x )를 정확히 구하지 못한 경우70
[문제 3]예시 답안 (5)의 3\displaystyle 3개 구간 중 1\displaystyle 1개 구간에서는 h(x)\displaystyle h ( x )를 정확히 구했으나 2\displaystyle 2개 구간의 h(x)\displaystyle h ( x )를 정확히 구하지 못한 경우40
[문제 3]예시 답안 (5)의 3\displaystyle 3개 구간 중 모든 구간에서 h(x)\displaystyle h ( x )를 정확히 구하지 못한 경우 또는 문제의 의미를 알지 못함0
[문제 3]h(x)\displaystyle h(x)는 제시하지 않고 h(1)\displaystyle h(1), h(3)\displaystyle h(3), h(5)\displaystyle h(5)를 각각 구하여 h(1)−h(3)−h(5)\displaystyle h(1)-h(3)-h(5)를 제시한 경우
[문제 3](6'), (7'), (8')을 정확히 계산하여 h(1)−h(3)−h(5)=1e−2e3\displaystyle h ( 1 ) - h ( 3 ) - h ( 5 ) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e^{3}}를 정확히 제시한 경우40
[문제 3](6'), (7'), (8') 중 2\displaystyle 2개는 정확한 답을 얻었으나 1\displaystyle 1개는 계산 오류로 정확히 구하지 못한 경우20
[문제 3](6'), (7'), (8') 중 1\displaystyle 1개는 정확한 답을 얻었으나 2\displaystyle 2개는 계산 오류로 정확히 구하지 못한 경우10
[문제 3](6'), (7'), (8') 모두 정확히 구하지 못한 경우 또는 문제의 의미를 알지 못함0

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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