자연계열 1번

(1) $\displaystyle \cos A = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \sin A = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$이다.

(2) 원의 반지름을 $\displaystyle R$이라 하면, 사인법칙에 따라 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{\sin A} = 2 R$이므로

(3) 코사인법칙에 따라 $\displaystyle \cos ( \angle {\mathrm{BOD}} ) = \frac{R^{2} + R^{2} - ( 2 \sqrt{3} )^{2}}{2 \times R \times R} = \frac{\left( \frac{4 \sqrt{5}}{5} \right)^{2} + \left( \frac{4 \sqrt{5}}{5} \right)^{2} - ( 2 \sqrt{3} )^{2}}{2 \times \left( \frac{4 \sqrt{5}}{5} \right)^{2}} = - \frac{7}{8}$이다.

(5) 따라서 $\displaystyle \triangle B C D$의 넓이를 $\displaystyle S_{2}$라 하면, $\displaystyle S_{2} = \frac{5}{2} \times S_{1} = \frac{5}{2} \times \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{2}$이다.

(6) 사인법칙을 활용하면 $\displaystyle S_{2} = \frac{\bar{\mathrm{BC}} \times \bar{\mathrm{CD}} \times \bar{\mathrm{BD}}}{4 \times R}$이므로, $\displaystyle \bar{\mathrm{BC}} \times \bar{\mathrm{CD}} \times \bar{\mathrm{BD}} = 4 \times \frac{4 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{15}}{2} = 8 \sqrt{3}$이다. 따라서 $\displaystyle \triangle B C D$의 세 변의 길이의 곱은 $\displaystyle 8 \sqrt{3}$이다.