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자연계열 3번

동덕여대 2026학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2026mo/jayeon_3

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동덕여대 2026학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2026mo/jayeon_3

[문제 3−1\displaystyle 3- 1]

+5점 · [문제 3] (1) (1) 극한의 성질을 이용하여 k\displaystyle k에 대한 방정식을 도출한 경우

(1) 주어진 조건에 의해 g(x)\displaystyle g ( x )는 x=0\displaystyle x = 0에서 연속이므로,

lim⁡x→0−g(x)=lim⁡x→0+g(x),2f(k)=f(0),2∣k2−k−12∣=12,∣k2−k−12∣=6\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0 -} g ( x ) = \lim_{x \rightarrow 0 +} g ( x ) , 2 f ( k ) = f ( 0 ) , 2 \left| k^{2} - k - 12 \right| = 12 , \left| k^{2} - k - 12 \right| = 6

+5점 · [문제 3] (1) (2) (1) k<−3\displaystyle k < {} - 3또는 k>4\displaystyle k > 4일 때, k2−k−18=0\displaystyle k^{2} - k - 18 = 0을 만족시키는 정수 k\displaystyle k값은 없음 (2) −3≤k≤4\displaystyle - 3 \le k \le 4일 때, k2−k−6=0,k=−2\displaystyle k^{2} - k - 6 = 0 , k = - 2또는 k=3\displaystyle k = 3을 찾은 경우

(2) ① k<−3\displaystyle k < {} - 3또는 k>4\displaystyle k > 4일 때 k2−k−18=0\displaystyle k^{2} - k - 18 = 0을 만족시키는 정수 k\displaystyle k값은 없다. ② −3≤k≤4\displaystyle - 3 \le k \le 4일 때 k2−k−6=0,k=−2\displaystyle k^{2} - k - 6 = 0 , k = - 2또는 k=3\displaystyle k = 3

+5점 · [문제 3] (1) (3) (2) h′(x)\displaystyle h ^{\prime} ( x )를 활용하여 함수 h(x)\displaystyle h ( x )가 조건에 부합한다고 판단한 경우

(3) k=−2\displaystyle k = - 2인 경우

① 함수 g(x)\displaystyle g ( x )는 x=−1,x=0,x=4\displaystyle x = - 1 , x = 0 , x = 4에서 미분가능하지 않다.

g(x)h(x)\displaystyle g ( x ) h ( x )가 실수 전체의 집합에서 미분 가능하므로, h(x)=x(x+1)(x−4)=x3−3x2−4x\displaystyle h ( x ) = x ( x + 1 ) ( x - 4 ) = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x

② h′(x)=3x2−6x−4\displaystyle h ^{\prime} ( x ) = 3 x^{2} - 6 x - 4이고 h′(4)=20\displaystyle h ^{\prime} ( 4 ) = 20을 만족시킨다.

+5점 · [문제 3] (1) (4) (2) h′(x)\displaystyle h ^{\prime} ( x )를 활용하여 함수 h(x)\displaystyle h ( x )가 조건에 부합하지 않는다고 판단한 경우

(4) k=3\displaystyle k = 3인 경우

① 함수 g(x)\displaystyle g ( x )는 x=−6,x=0,x=4\displaystyle x = - 6 , x = 0 , x = 4에서 미분가능하지 않다.

g(x)h(x)\displaystyle g ( x ) h ( x )가 실수 전체의 집합에서 미분 가능하므로, h(x)=x(x+6)(x−4)=x3+2x2−24x\displaystyle h ( x ) = x ( x + 6 ) ( x - 4 ) = x^{3} + 2 x^{2} - 24 x

② h′(x)=3x2+4x−24\displaystyle h ^{\prime} ( x ) = 3 x^{2} + 4 x - 24이고 h′(4)=20\displaystyle h ^{\prime} ( 4 ) = 20을 만족시키지 않는다.

+5점 · [문제 3] (1) (5)와 같이 함수 h(x)\displaystyle h ( x )와 h(k)\displaystyle h ( k )값을 올바르게 구한 경우

(5) 그러므로 h(x)=x3−3x2−4x\displaystyle h ( x ) = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x이고, h(k)=h(−2)=−12\displaystyle h ( k ) = h ( - 2 ) = - 12

[문제 3−2\displaystyle 3-2]

+15점 · [문제 3] (2) (1)과 같이 x=2\displaystyle x = 2에서 두 함수의 함숫값과 미분 계수가 같음을 이용하여 j(x)=−4x−4\displaystyle j ( x ) = - 4 x - 4를 구한 경우

(1) j(x)=ax+b\displaystyle j ( x ) = a x + b라고 하자.

h(2)=j(2),h(2)=−12,j(2)=2a+b=−12\displaystyle h ( 2 ) = j ( 2 ) , h ( 2 ) = - 12 , j ( 2 ) = 2 a + b = - 12

함수 y=h(x)\displaystyle y = h ( x )의 그래프와 함수 y=j(x)\displaystyle y = j ( x )의 그래프가 x=2\displaystyle x = 2에서 접하므로 h′(2)=j′(2)\displaystyle h ^{\prime} ( 2 ) = j ^{\prime} ( 2 )

h′(x)=3x2−6x−4\displaystyle h ^{\prime} ( x ) = 3 x^{2} - 6 x - 4이므로 h′(2)=−4,j′(2)=a∴a=−4,b=−4\displaystyle h ^{\prime} ( 2 ) = - 4 , j ^{\prime} ( 2 ) = a \therefore a = - 4 , b = - 4

j(x)=−4x−4\displaystyle j ( x ) = - 4 x - 4

+10점 · [문제 3] (2) (2)와 같이 도함수를 이용하여 극값을 갖는 x\displaystyle x값을 구하고 증감표를 이용하여 극댓값과 극솟값을 올바르게 구한 경우

(2) D(x)=x3−3x2−4x−(−4x−4)=x3−3x2+4\displaystyle D ( x ) = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - ( - 4 x - 4 ) = x^{3} - 3 x^{2} + 4

D′(x)=3x2−6x=0\displaystyle D ^{\prime} ( x ) = 3 x^{2} - 6 x = 0인 x\displaystyle x값은 0\displaystyle 0과 2\displaystyle 2

x\displaystyle x⋯\displaystyle \cdots0\displaystyle 0⋯\displaystyle \cdots2\displaystyle 2⋯\displaystyle \cdots
D′(x)\displaystyle D ^{\prime} ( x )+0\displaystyle 0-0\displaystyle 0+
D(x)\displaystyle D ( x )증가4\displaystyle 4감소0\displaystyle 0증가

x=0\displaystyle x = 0에서 극댓값 4,x=2\displaystyle 4 , x = 2에서 극솟값 0\displaystyle 0

채점 기준 충족 정도에 따라 부분점수가 부여될 수 있음

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