자연계열 2번

(1) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}} \left[ f \left( \frac{1}{n} \right) + 2^{2} f \left( \frac{2}{n} \right) + 3^{2} f \left( \frac{3}{n} \right) + \cdots n^{2} f \left( \frac{n}{n} \right) \right]$은 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} f \left( \frac{k}{n} \right)$이다.

(2) 적분과 급수의 합과의 관계는 $\displaystyle \int_{a}^{b} f ( x ) d x = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} f \left( x_{k} \right) \Delta x$(단, $\displaystyle \Delta x = \frac{b - a}{n} , x_{k} = a + k \Delta x$) 이기 때문에 따라서 위의 급수의 합은 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2}} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} f \left( x_{k} \right) \Delta x \left( \Delta x = \frac{1 - 0}{n} , x_{k} = 0 + k \times \frac{1}{n} \right)$으로 볼 수 있으므로

(3) 이로부터 정적분 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f ( x ) d x$로 나타낼 수 있다.

(2) $\displaystyle x^{2} \sin ( \pi x )$가 미분가능하고 연속이기 때문에 $\displaystyle \int f ( x ) g ^{\prime} ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ^{\prime} ( x ) g ( x ) d x$의 부분적분법을 이용한다.

(4) $\displaystyle \int x^{2} \sin ( \pi x ) d x = - \frac{x^{2}}{\pi} \cos ( \pi x ) + \frac{2 x}{\pi^{2}} \sin ( \pi x ) + \frac{2}{\pi^{3}} \cos ( \pi x ) + C$이다.

(5) $\displaystyle x = 1$일 때, $\displaystyle - \frac{1}{\pi} ( - 1 ) + 0 + \frac{2}{\pi^{3}} ( - 1 ) = \frac{1}{\pi} - \frac{2}{\pi^{3}}$

(6) $\displaystyle x = 0$일 때, $\displaystyle 0 + 0 + \frac{2}{\pi^{3}} ( 1 ) = \frac{2}{\pi^{3}}$

(7) $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \sin ( \pi x ) d x = \left( \frac{1}{\pi} - \frac{2}{\pi^{3}} \right) - \frac{2}{\pi^{3}} = \frac{1}{\pi} - \frac{4}{\pi^{3}}$이다.