자연계열 1번

동덕여대 2026학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2026su/jayeon_1

[ 문제 1 ] [70점]

(가) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 에서 $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=b$ ( $\displaystyle g(x)\ne0$ , $\displaystyle b$ 는 실수)이고 $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=0$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\times g(x)\right\}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\times\lim_{x\to a}g(x)=b\times0=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=0$ 이다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 미분계수는 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 이다.

(다) 무리수 $\displaystyle e$ 는 $\displaystyle e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$ 로 정의하고, 무리수 $\displaystyle e$ 를 밑으로 하는 로그 $\displaystyle \log_e x$ 를 자연로그라 하고 간단히 $\displaystyle \ln x$ 로 나타낸다.

(라) 로그함수 $\displaystyle y=\ln|x|$ 의 도함수는 $\displaystyle y^{\prime}=\frac1x$ 이고, 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle y=\ln|f(x)|$ 의 도함수는 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ 이다. (단, $\displaystyle f(x)\ne0$ )

(1) 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{x\to e}\frac{f(x)-1}{\ln x-1}=5$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle f(e)$ 와 $\displaystyle f^{\prime}(e)$ 의 값을 구하시오. (45점)

(2) 함수 $\displaystyle h(x)=(1+e^x)(1+e^{2x})(1+e^{3x})\cdots(1+e^{10x})$ 일 때, $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ 를 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

동덕여대 2026학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2026su/jayeon_1

[문제 $\displaystyle 1$ ] (1)

+7점 · (1) 주어진 식이 극한값이 존재하고

\displaystyle x \rightarrow e

일 때,

\displaystyle \ln e \rightarrow 1

이므로 분모의 극한값이

\displaystyle 0

이 되어 분자의 극한값도

\displaystyle 0

이 되어야 하는 것을 명시하고,

\displaystyle f ( e ) = 1

을 도출한 경우

Correction. 채점 기준의 $\displaystyle \ln e\to1$ 은 $\displaystyle x\to e$ 일 때 $\displaystyle \ln x\to1$ 을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(1) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - 1}{\ln x - 1} = 5$ 에서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} ( \ln x - 1 ) = 0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} ( f ( x ) - 1 ) = 0$ 이다.

즉, $\displaystyle f ( e ) = 1$ 이다.

+3점 · (2 - 3)

\displaystyle f ( e ) = 1 , \ln e = 1

을 활용하는 것을 명시한 경우

(2) 주어진 식 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - 1}{\ln x - 1} = 5$ 의 분모, 분자를 $\displaystyle x - e$ 로 나누면 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - 1}{\ln x - 1} = \lim_{x \rightarrow e} \left\{ \frac{f ( x ) - 1}{x - e} \times \frac{x - e}{\ln x - 1} \right\}$ 로 둘 수 있다.

(3) 또한 $\displaystyle f ( e ) = 1 , \ln e = 1$ 을 활용하면

+15점 · (4)

\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - 1}{\ln x - 1} = \lim_{x \rightarrow e} \left\{ \frac{f ( x ) - f ( e )}{x - e} \times \frac{x - e}{\ln x - \ln e} \right\}

의 형태로 정리한 경우

(4) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - 1}{\ln x - 1} = \lim_{x \rightarrow e} \left\{ \frac{f ( x ) - f ( e )}{x - e} \times \frac{x - e}{\ln x - \ln e} \right\}$ 로 둘 수 있다.

(5) 이때 $\displaystyle \ln x = g ( x )$ 라고 두면

+15점 · (6 - 8)

\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{x - e}{\ln x - \ln e} = e

를 구한 경우

(6) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{x - e}{\ln x - \ln e} = \lim_{x \rightarrow e} \frac{1}{\frac{\ln x - \ln e}{x - e}} = \frac{1}{g ^{\prime} ( e )}$

(7) $\displaystyle g ^{\prime} ( x ) = \frac{1}{x}$ 라서 $\displaystyle g ^{\prime} ( e ) = \frac{1}{e}$

(8) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{x - e}{\ln x - \ln e} = e$ 가 된다.

(9) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - 1}{\ln x - 1} = \lim_{x \rightarrow e} \frac{f ( x ) - f ( e )}{x - e} \times \lim_{x \rightarrow e} \frac{x - e}{\ln x - \ln e} = f ^{\prime} ( e ) \times e = 5$ 이다.

+5점 · (10)

\displaystyle f ^{\prime} ( e ) = \frac{5}{e}

를 구한 경우 (

\displaystyle 5

점)

(10) 따라서 $\displaystyle f ^{\prime} ( e ) = \frac{5}{e}$ 이다.

[문제 $\displaystyle 1$ ] (2)

+12점 · (1)

\displaystyle \ln | h ( x ) | = \ln \left| \left( 1 + e^{x} \right) \left( 1 + e^{2 x} \right) \left( 1 + e^{3 x} \right) \cdots \left( 1 + e^{10 x} \right) \right|

혹은

\displaystyle \ln \left( 1 + e^{x} \right) + \ln \left( 1 + e^{2 x} \right) + \ln \left( 1 + e^{3 x} \right) + \cdots + \ln \left( 1 + e^{10 x} \right)

로 정리한 경우

(1) $\displaystyle h ( x ) = \left( 1 + e^{x} \right) \left( 1 + e^{2 x} \right) \left( 1 + e^{3 x} \right) \cdots \left( 1 + e^{10 x} \right)$ 의 양변에 로그를 취하면

$\displaystyle \ln | h ( x ) | = \ln \left| \left( 1 + e^{x} \right) \left( 1 + e^{2 x} \right) \left( 1 + e^{3 x} \right) \cdots \left( 1 + e^{10 x} \right) \right|$

$\displaystyle = \ln \left( 1 + e^{x} \right) + \ln \left( 1 + e^{2 x} \right) + \ln \left( 1 + e^{3 x} \right) + \cdots + \ln \left( 1 + e^{10 x} \right)$

(2) $\displaystyle \frac{h ^{\prime} ( x )}{h ( x )}$ 는 $\displaystyle \ln | h ( x ) |$ 의 도함수이므로 $\displaystyle \frac{h ^{\prime} ( x )}{h ( x )}$ 는 $\displaystyle \ln \left( 1 + e^{x} \right) + \ln \left( 1 + e^{2 x} \right) + \ln \left( 1 + e^{3 x} \right) + \cdots + \ln \left( 1 + e^{10 x} \right)$ 의 도함수와 같다.

+8점 · (3)

\displaystyle \ln \left( 1 + e^{x} \right) + \ln \left( 1 + e^{2 x} \right) + \ln \left( 1 + e^{3 x} \right) + \cdots + \ln \left( 1 + e^{10 x} \right)

의 도함수를

\displaystyle \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{2 \times e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{3 \times e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} + \cdots + \frac{10 \times e^{10 x}}{1 + e^{10 x}}

로 정확히 구한 경우

(3) $\displaystyle \frac{h ^{\prime} ( x )}{h ( x )} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{2 \times e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{3 \times e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} + \cdots + \frac{10 \times e^{10 x}}{1 + e^{10 x}}$ 이다.

+5점 · (4)

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{2 \times e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{3 \times e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} + \cdots + \frac{10 \times e^{10 x}}{1 + e^{10 x}} \right)

의 값을

\displaystyle = \frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{1 + 1} + \frac{3}{1 + 1} + \cdots + \frac{10}{1 + 1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{10} k = \frac{55}{2}

로 구한 경우

(4) 따라서 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{h ^{\prime} ( x )}{h ( x )} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} + \frac{2 \times e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{3 \times e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} + \cdots + \frac{10 \times e^{10 x}}{1 + e^{10 x}} \right)$

$\displaystyle = \frac{1}{1 + 1} + \frac{2}{1 + 1} + \frac{3}{1 + 1} + \cdots + \frac{10}{1 + 1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{10} k = \frac{55}{2}$ 이다 .

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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