자연계열 3번

동덕여대 2026학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2026su/jayeon_3

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동덕여대 2026학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2026su/jayeon_3

[문제 $\displaystyle 3$ ] (1)

(1) 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$ 인 사차함수이고, $\displaystyle f ( x ) = f ( - x )$ 를 만족하므로 $\displaystyle f ( x ) = x^{4} + a x^{2} + b$ 이다.

(2) 주어진 (나)의 $\displaystyle g ( x + y ) = g ( x ) + g ( y ) + 2 x y - 1$ 에 $\displaystyle x = 0 , y = 0$ 을 대입하면 $\displaystyle g ( 0 ) = 1$ 이다.

(3) 제시문 (나)의 조건에서 $\displaystyle x \rightarrow 0$ 일 때, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f ( x ) g ( x ) = 3$ 이고, $\displaystyle g ( 0 ) = 1$ 이므로 $\displaystyle f ( 0 ) = 3$ 이다.

따라서 $\displaystyle f ( x ) = x^{4} + a x^{2} + 3$ 이다.

+10점 · [문제 3] (1) (4)와 같이

\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = 0

을 이용하여

\displaystyle x

의 값을 구한 경우

(4) 함수 $\displaystyle f ( x )$ 를 $\displaystyle x$ 에 대해서 미분하면 $\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = 4 x^{3} + 2 a x = 0$ 이고, $\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = 0$ 에서 $\displaystyle x \left( 4 x^{2} + 2 a \right) = 0$ 이다. 만족하는 $\displaystyle x$ 를 구하면 $\displaystyle x = - \sqrt{- \frac{a}{2}} , x = 0 , x = \sqrt{- \frac{a}{2}}$

+10점 · [문제 3] (1) (5)와 같이

\displaystyle f \left( \sqrt{- \frac{a}{2}} \right) = - 13

을 이용하여

\displaystyle a = - 8

을 제시한 경우

(5) $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = - \sqrt{- \frac{a}{2}} , x = \sqrt{- \frac{a}{2}}$ 에서 극솟값 $\displaystyle - 13$ 을 갖는다.

$\displaystyle f \left( \sqrt{- \frac{a}{2}} \right) = - 13 \text{에서 }a = - 8 \left( - \frac{a}{2} > 0 \right)$ 이다 .

+4점 · [문제 3] (1) (6)과 같이 최종 함수식 함수

\displaystyle f ( x ) = x^{4} - 8 x^{2} + 3

을 정확히 제시한 경우

(6) 따라서 $\displaystyle f ( x ) = x^{4} - 8 x^{2} + 3$ 이다.

[문제 $\displaystyle 3$ ] (2)

+8점 · [문제 3] (2) (1)과 같이

\displaystyle h ( x ) = f ( x ) g ( x )

로 두고 극한 조건을 미분의 정의로 해석하여

\displaystyle h ^{\prime} ( 0 ) = 0

을 도출한 경우

(1) $\displaystyle h ( x ) = f ( x ) g ( x )$ 라고 하자.

주어진 극한은 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{h ( x ) - h ( 0 )}{x} = 0$ 이고 $\displaystyle h ^{\prime} ( 0 ) = 0$ 이다.

+6점 · [문제 3] (2) (2)와 같이 곱의 미분 공식

\displaystyle h ^{\prime} ( 0 ) = f ^{\prime} ( 0 ) g ( 0 ) + f ( 0 ) g ^{\prime} ( 0 )

을 적용한 경우

(2) 곱의 미분법을 사용하면, $\displaystyle h ^{\prime} ( 0 ) = f ^{\prime} ( 0 ) g ( 0 ) + f ( 0 ) g ^{\prime} ( 0 )$ 가 된다.

+6점 · [문제 3] (2) (3)과 같이

\displaystyle f ( 0 ) = 3 , f ^{\prime} ( 0 ) = 0 , g ( 0 ) = 1

을 대입하여 최종 결과값인

\displaystyle g ^{\prime} ( 0 ) = 0

을 정확히 제시한 경우

(3) $\displaystyle f ( x ) = x^{4} - 8 x^{2} + 3$ 이므로 $\displaystyle f ( 0 ) = 3 , f ^{\prime} ( x ) = 4 x^{3} - 16 x$ 이므로 $\displaystyle f ^{\prime} ( 0 ) = 0$ 이다. $\displaystyle h ^{\prime} ( 0 ) = 0 \times 1 + 3 \times g ^{\prime} ( 0 ) = 0$ 이고 따라서 $\displaystyle g ^{\prime} ( 0 ) = 0$ 이다.

※ 채점 기준은 문항의 출제의도에 대한 평가를 위한 것이어야 함.

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