논술 맬서스와 로지스틱 성장 모형

＊맬서스 성장 모형

시각 $\displaystyle t$에서의 인구를 $\displaystyle P(t)$라 하자.인구의 증가 속도가 현재 인구에 비례한다고 가정하면$\displaystyle P^{\prime}(t)=rP(t)\qquad(r>0)$이다. $\displaystyle P(0)=P_0>0$일 때 양변을 $\displaystyle P(t)$로 나누어 적분하면$\displaystyle \ln P(t)=rt+C$이므로$\displaystyle P(t)=P_0e^{rt}$를 얻는다. 일정한 시간 동안 같은 비율로 증가하는 지수 성장이다.

＊로지스틱 성장 모형

자원이 제한되어 있다면 인구가 많아질수록 한 개체당 증가율은 낮아진다.환경이 지속적으로 감당할 수 있는 인구를 $\displaystyle K>0$이라 하고,한 개체당 증가율이 $\displaystyle 1-P/K$에 비례한다고 가정하면$\displaystyle P^{\prime}(t)=rP(t)\left(1-\frac{P(t)}K\right)\qquad(r>0)$이다. 이를 로지스틱 성장 모형이라 한다.

＊로지스틱 방정식의 해

$\displaystyle 0<P_0<K$이고 $\displaystyle P(0)=P_0$라 하자. $\displaystyle 0<P<K$에서 변수분리와 부분분수 분해를 이용하면$\displaystyle \frac{P^{\prime}}{P(1-P/K)}=r,\qquad\frac{1}{P(1-P/K)}=\frac1P+\frac1{K-P}$이므로$\displaystyle \ln\frac{P}{K-P}=rt+C$이다. 초기조건을 대입하여 정리하면$\displaystyle P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{P_0}-1\right)e^{-rt}}$를 얻는다. $\displaystyle P_0=0$과 $\displaystyle P_0=K$에서는 각각 상수함수 $\displaystyle P=0$, $\displaystyle P=K$가 해이다.

＊두 모형의 비교

인구가 $\displaystyle K$에 비해 매우 작으면 $\displaystyle 1-P/K$는 $\displaystyle 1$에 가까우므로,로지스틱 모형도 초기에는 맬서스 모형과 비슷하게 증가한다.그러나 맬서스 모형은 끝없이 증가하는 반면,$\displaystyle 0<P_0<K$인 로지스틱 모형은 증가하면서 $\displaystyle K$에 가까워진다.

로지스틱 모형의 증가 속도 $\displaystyle rP(1-P/K)$는 $\displaystyle P=K/2$일 때 가장 크다.또한$\displaystyle P^{\prime\prime}=rP^{\prime}\left(1-\frac{2P}K\right)$이므로 인구가 $\displaystyle K/2$보다 작을 때는 증가 속도가 커지고,$\displaystyle K/2$보다 클 때는 증가 속도가 작아진다.처음 인구가 $\displaystyle K/2$ 이상이라면 $\displaystyle t\ge0$에서는 증가 속도가 계속 줄어든다.