자연계열 1번

밑면의 반지름의 길이가 $\displaystyle r$ 이고, 높이가 $\displaystyle h$ 인 원뿔 모양 아이스크림 콘의 부피를 $\displaystyle V$ , 겉넓이를 $\displaystyle S$ 라고 하면$\displaystyle V= \frac{1}{3} \pi r ^{2 } h$ (1)이다.

옆면을 펼쳤을 때, 생기는 부채꼴의 호의 길이를 $\displaystyle l$ 이라 하면, 부채꼴의 넓이는 아이스크림 콘의 겉넓이 $\displaystyle S$ 이고, 부채꼴의 반지름의 길이 $\displaystyle R= \sqrt {r ^{2} +h ^{2}}$ 임을 알 수 있다. 호의 길이 $\displaystyle l$ 은 윗면 원의 둘레와 같으므로 $\displaystyle l=2 \pi r$ 이다. 따라서, 부채꼴의 넓이 즉, 겉넓이 $\displaystyle S$ 는 제시문 【나】 에 의해$\displaystyle S= \frac{1}{2} R l= \pi r \sqrt {r ^{2} +h ^{2}}$.

원뿔모양 아이스크림 콘의 일정한 부피가 $\displaystyle 9 \sqrt {2} \pi ^{4}$ 이므로, 식 (1)에서$\displaystyle h= \frac{27 \sqrt {2} \pi ^{3}}{r ^{2}}$ (2)이다. 이 때$\displaystyle S= \pi r \sqrt {r ^{2} + \frac{2 \cdot 3 ^{6} \cdot \pi ^{6}}{r ^{4}}} = \sqrt {\pi ^{2 } r ^{4} + \frac{2 \cdot 3 ^{6} \cdot \pi ^{8}}{r ^{2}}}$ .

이때 $\displaystyle S$ 를 $\displaystyle r$ 에 대해 미분하면$\displaystyle \frac{dS}{dr} = \frac{4 \pi ^2 r^3 - \frac{4 \cdot 3 ^{6} \cdot \pi ^{8}}{r^3}}{2\sqrt {\pi ^{2 } r ^{4} + \frac{2 \cdot 3 ^{6} \cdot \pi ^{8}}{r ^{2}}}} = \frac{2 \pi ^2 (r^6 - (3 \pi ) ^{6} )}{r^2 \sqrt {\pi ^{2 } r ^{6} + 2 \cdot 3 ^{6} \cdot \pi ^{8}}}$.

$\displaystyle \frac{dS}{dr}$은 $\displaystyle r>3 \pi$ 이면 양수이고, $\displaystyle r<3 \pi$ 이면 음수이다. 따라서 제시문 【다】에 의해 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle r>3 \pi$ 일 때 증가하고, $\displaystyle r<3 \pi$ 일 때 감소한다. 따라서, $\displaystyle S$ 가 최소가 될 때, $\displaystyle r=3 \pi$ 이다. 이때 높이 $\displaystyle h$는 식 (2)에 의해$\displaystyle h= \frac{27 \sqrt {2} \pi ^{3}}{r ^{2}} =3 \sqrt {2} \pi$이다.