수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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동국대 2020학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2020mo/jayeon_3

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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】벡터 a⃗=(a1,a2,a3)\displaystyle {\vec {a}} =(a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ) 에 대하여∣a⃗∣=a12+b12+c12.\displaystyle \left | {\vec {a}} \right | = \sqrt {a _{1}^{2} +b _{1}^{2} +c _{1}^{2}} .Correction. 벡터 a⃗=(a1,a2,a3)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,a_3)의 크기를 나타낸 식에서 b12+c12\displaystyle b_1^2+c_1^2는 a22+a32\displaystyle a_2^2+a_3^2의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.-『고등학교 기하와 벡터』

【나】두 벡터 a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\displaystyle {\vec {a}} =(a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ), {\vec {b}} =(b _{1} ,b _{2} ,b _{3} )에 대하여a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3.\displaystyle {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} =a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +a _{3} b _{3} .영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗,b⃗\displaystyle {\vec {a}} , {\vec {b}} 가 이루는 각의 크기가 θ(0≤θ≤π)\displaystyle \theta (0 \le \theta \le \pi )일 때a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ.\displaystyle {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} = \left | {\vec {a}} \right | \left | {\vec {b}} \right | \cos \theta .-『고등학교 기하와 벡터』

【다】영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗,b⃗\displaystyle {\vec {a}} , {\vec {b}}에 대하여a⃗⊥b⃗=0⇔a⃗⋅b⃗=0.\displaystyle {\vec {a}} \perp {\vec {b}} =0 \Leftrightarrow {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} =0 .Correction. a⃗⊥b⃗=0\displaystyle \vec a\perp\vec b=0은 a⃗⊥b⃗\displaystyle \vec a\perp\vec b의 오기이다. 0\displaystyle 0은 수직 관계가 아니라 내적 a⃗⋅b⃗\displaystyle \vec a\cdot\vec b의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.-『고등학교 기하와 벡터』

【라】평면 α\displaystyle \alpha와 한 점 O\displaystyle O 에서 만나는 직선 l\displaystyle l 이 평면 α\displaystyle \alpha 위의 점 O\displaystyle O 에서 만나는 서로 다른 두 직선 a,b\displaystyle a,b와 수직이면 직선 l\displaystyle l과 평면 α\displaystyle \alpha는 수직이다.-『고등학교 기하와 벡터』

[문제3]두 벡터 a⃗=(13,13,13),b⃗=(1,1,0)\displaystyle {\vec {a}} = \left ( \frac{1}{\sqrt {3}} , \frac{1}{\sqrt {3}} , \frac{1}{\sqrt {3}} \right ) , {\vec {b}} = \left ( 1,1,0 \right ) 에 대해 벡터 a⃗\displaystyle \vec { a} 와 벡터 b⃗\displaystyle \vec { b} 가 이루는 평면에 있으면서 벡터 a⃗\displaystyle \vec { a} 와 수직이고 x\displaystyle x-좌표가 양수인 단위 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}} 를 구하라. 그리고, 벡터 a⃗\displaystyle \vec { a} 와 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}} 로 이루어진 평면에 수직이고 x\displaystyle x-좌표가 양수인 단위 벡터 d⃗\displaystyle \vec { d} 를 구하라. 임의의 벡터 e⃗=(x,y,z)\displaystyle {\vec {e}} =(x, y, z)를 벡터 a⃗\displaystyle \vec { a}, 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}}, 벡터 d⃗\displaystyle \vec { d}로 나타내라.

해설강의 준비중

동국대 2020학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2020mo/jayeon_3

1단계 · 수선의 발을 이용하여 조건을 만족하는 단위 벡터를 구한다.

벡터 b⃗\displaystyle {\vec {b}} 의 종점을 B\displaystyle B 라고 하고 B\displaystyle B 에서 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a}} 에 내린 수선의 발을 C\displaystyle C라고 할 때, 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}} 는 CB→∣CB→∣,−CB→∣CB→∣\displaystyle \frac{{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}}{| {\overrightarrow{\mathrm{CB}}} |} , - \frac{{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}}{| {\overrightarrow{\mathrm{CB}}} |}중에 x\displaystyle x-좌표가 양인 벡터이며, 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a}} 와 벡터 b⃗\displaystyle {\vec {b}} 가 이루는 평면에서 단위 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a}} 에 수직인 벡터이다.

2단계 · 벡터의 내적을 이용하여 단위 벡터를 구할 수 있다.

이 때,OC→=∣b⃗∣cos⁡(∠BOC)a⃗∣a⃗∣=∣b⃗∣∣a⃗∣a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣a⃗=(a⃗⋅b⃗)a⃗\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} =| {\vec {b}} |\cos ( \angle BOC) \frac{{\vec {a}}}{| {\vec {a}} |} = \frac{| {\vec {b}} |}{| {\vec {a}} |} \frac{{\vec {a}} \cdot {\vec {b}}}{| {\vec {a}} || {\vec {b}} |} {\vec {a}} =( {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} ) {\vec {a}}이다. 여기서 【나】와 a⃗\displaystyle {\vec {a}}가 단위 벡터임을 이용하였다. 따라서,CB→=OB→−OC→=b⃗−(a⃗⋅b⃗)a⃗=(13,13,−23)\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{CB}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} - {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} = {\vec {b}} -( {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} ) {\vec {a}} = \left ( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} ,- \frac{2}{3} \right )c⃗=(16,16,−26)\displaystyle {\vec {c}} = \left ( \frac{1}{\sqrt {6}} , \frac{1}{\sqrt {6}} , \frac{-2}{\sqrt {6}} \right )이다. c⃗\displaystyle {\vec {c}} 의 x\displaystyle x-좌표는 양수이다.

3단계 · 두 벡터에 수직이고 크기가 1이며 x-좌표가 양인 조건을 유도한다.

【라】에 의해 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a }}와 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}} 에 수직이면 이 두 벡터를 포함한 평면에 수직이다. d⃗=(f,g,h)\displaystyle {\vec {d}} =(f,g,h) 라 하고, 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a }}와 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}} 에 수직이라는 것과 크기가 1이고, x\displaystyle x-좌표가 양이므로f+g+h=0,f+g−2h=0,f2+g2+h2=1,f>0\displaystyle f+g+h=0, f+g-2h=0, f ^{2} +g ^{2} +h ^{2} =1, f>0을 만족하므로

4단계 · 방정식을 풀어서 단위 벡터를 구한다.

d⃗=(12,−12,0)\displaystyle {\vec {d}} = \left ( \frac{1}{\sqrt {2}} , \frac{-1}{\sqrt {2}} ,0 \right )이다.

5단계 · 벡터의 내적 및 세 벡터가 서로 수직인 단위 벡터임을 이용한다.

세 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a }}, c⃗\displaystyle {\vec {c}}, d⃗\displaystyle {\vec {d}} 는 서로 수직인 공간 벡터이므로 임의의 벡터 e⃗\displaystyle {\vec {e}} 를 표현할 수 있다.

e⃗=ka⃗+lc⃗+md⃗\displaystyle {\vec {e}} =k {\vec {a}} +l {\vec {c}} + m {\vec {d}}이라면 양변을 벡터 a⃗\displaystyle {\vec {a }}로 내적하면a⃗⋅e⃗=ka⃗⋅a⃗+la⃗⋅c⃗+ma⃗⋅d⃗=k\displaystyle {\vec {a}} \cdot {\vec {e}} = k {\vec {a}} \cdot {\vec {a}} + l {\vec {a}} \cdot {\vec {c}} + m {\vec {a}} \cdot {\vec {d}} = k이다. 마찬가지로. 양변을 벡터 c⃗\displaystyle {\vec {c}} 로 내적하면l=c⃗⋅e⃗\displaystyle l = {\vec {c}} \cdot {\vec {e}}이고, 양변을 벡터 d⃗\displaystyle {\vec {d}} 로 내적하면m=d⃗⋅e⃗\displaystyle m = {\vec {d}} \cdot {\vec {e}}이다, 따라서,k=x+y+z3,l=x+y−2z6,m=x−y2\displaystyle k= \frac{x+y+z}{\sqrt {3}} , l= \frac{x+y-2z}{\sqrt {6}} , m= \frac{x-y}{\sqrt {2}}.이므로e⃗=x+y+z3a⃗+x+y−2z6c⃗+x−y2d⃗.\displaystyle {\vec {e}} = \frac{x+y+z}{\sqrt {3}} {\vec {a}} + \frac{x+y-2z}{\sqrt {6}} {\vec {c}} + \frac{x-y}{\sqrt {2}} {\vec {d}} .

채점 기준배점
상(1단계)부터 (5단계)까지를 모두 보이고, 논증이 매끄럽고 설득력있는 경우S
상(1단계)부터 (5단계)까지를 모두 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우A
중(1단계)부터 (4단계)까지의 과정을 기술한 경우B
중(1단계)부터 (3단계)까지의 과정을 기술한 경우C
중(1단계)부터 (2단계)까지의 과정을 기술한 경우D
하위 단계 중 한 가지만 기술한 경우E
하어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

첨삭 사례

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