자연계열 3번

벡터 $\displaystyle {\vec {b}}$ 의 종점을 $\displaystyle B$ 라고 하고 $\displaystyle B$ 에서 벡터 $\displaystyle {\vec {a}}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle C$라고 할 때, 벡터 $\displaystyle {\vec {c}}$ 는 $\displaystyle \frac{{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}}{| {\overrightarrow{\mathrm{CB}}} |} , - \frac{{\overrightarrow{\mathrm{CB}}}}{| {\overrightarrow{\mathrm{CB}}} |}$중에 $\displaystyle x$-좌표가 양인 벡터이며, 벡터 $\displaystyle {\vec {a}}$ 와 벡터 $\displaystyle {\vec {b}}$ 가 이루는 평면에서 단위 벡터 $\displaystyle {\vec {a}}$ 에 수직인 벡터이다. 이 때,$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} =| {\vec {b}} |\cos ( \angle BOC) \frac{{\vec {a}}}{| {\vec {a}} |} = \frac{| {\vec {b}} |}{| {\vec {a}} |} \frac{{\vec {a}} \cdot {\vec {b}}}{| {\vec {a}} || {\vec {b}} |} {\vec {a}} =( {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} ) {\vec {a}}$이다. 여기서 【나】와 $\displaystyle {\vec {a}}$가 단위 벡터임을 이용하였다. 따라서,$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{CB}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} - {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} = {\vec {b}} -( {\vec {a}} \cdot {\vec {b}} ) {\vec {a}} = \left ( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} ,- \frac{2}{3} \right )$$\displaystyle {\vec {c}} = \left ( \frac{1}{\sqrt {6}} , \frac{1}{\sqrt {6}} , \frac{-2}{\sqrt {6}} \right )$이다. $\displaystyle {\vec {c}}$ 의 $\displaystyle x$-좌표는 양수이다.

【라】에 의해 벡터 $\displaystyle {\vec {a }}$와 벡터 $\displaystyle {\vec {c}}$ 에 수직이면 이 두 벡터를 포함한 평면에 수직이다. $\displaystyle {\vec {d}} =(f,g,h)$ 라 하고, 벡터 $\displaystyle {\vec {a }}$와 벡터 $\displaystyle {\vec {c}}$ 에 수직이라는 것과 크기가 1이고, $\displaystyle x$-좌표가 양이므로$\displaystyle f+g+h=0, f+g-2h=0, f ^{2} +g ^{2} +h ^{2} =1, f>0$을 만족하므로$\displaystyle {\vec {d}} = \left ( \frac{1}{\sqrt {2}} , \frac{-1}{\sqrt {2}} ,0 \right )$이다. 세 벡터 $\displaystyle {\vec {a }}$, $\displaystyle {\vec {c}}$, $\displaystyle {\vec {d}}$ 는 서로 수직인 공간 벡터이므로 임의의 벡터 $\displaystyle {\vec {e}}$ 를 표현할 수 있다.

$\displaystyle {\vec {e}} =k {\vec {a}} +l {\vec {c}} + m {\vec {d}}$이라면 양변을 벡터 $\displaystyle {\vec {a }}$로 내적하면$\displaystyle {\vec {a}} \cdot {\vec {e}} = k {\vec {a}} \cdot {\vec {a}} + l {\vec {a}} \cdot {\vec {c}} + m {\vec {a}} \cdot {\vec {d}} = k$이다. 마찬가지로. 양변을 벡터 $\displaystyle {\vec {c}}$ 로 내적하면$\displaystyle l = {\vec {c}} \cdot {\vec {e}}$이고, 양변을 벡터 $\displaystyle {\vec {d}}$ 로 내적하면$\displaystyle m = {\vec {d}} \cdot {\vec {e}}$이다, 따라서,$\displaystyle k= \frac{x+y+z}{\sqrt {3}} , l= \frac{x+y-2z}{\sqrt {6}} , m= \frac{x-y}{\sqrt {2}}$.이므로$\displaystyle {\vec {e}} = \frac{x+y+z}{\sqrt {3}} {\vec {a}} + \frac{x+y-2z}{\sqrt {6}} {\vec {c}} + \frac{x-y}{\sqrt {2}} {\vec {d}} .$