수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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동국대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2020mo/jayeon_2

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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】 연속확률변수 X\displaystyle X가 a≤X≤b\displaystyle a\le X\le b인 범위 안의 임의의 값을 가질 수 있고, 이 범위에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 다음 조건을 만족하면 f(x)\displaystyle f(x)를 X\displaystyle X의 확률밀도함수라고 한다.(i) 모든 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0(ii) 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축, 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b로 둘러싸인 부분의 넓이가 1(iii) P(α≤X≤β)(a≤α≤β≤b)\displaystyle P(\alpha\le X\le\beta)\quad(a\le\alpha\le\beta\le b)는 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축, 직선 x=α\displaystyle x=\alpha, x=β\displaystyle x=\beta로 둘러싸인 부분의 넓이-『고등학교 확률과 통계』

【나】 함수 f:X→Y, y=f(x)\displaystyle f:X\rightarrow Y,\ y=f(x)가 일대일 대응일 때, 집합 Y\displaystyle Y의 임의의 원소 y\displaystyle y에 f(x)=y\displaystyle f(x)=y인 집합 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x를 대응시키면 집합 Y\displaystyle Y를 정의역, 집합 X\displaystyle X를 공역으로 하는 새로운 함수를 얻는다. 이 함수를 함수 f:X→Y\displaystyle f:X \rightarrow Y의 역함수라고 하며, 이것을 기호로f−1\displaystyle f^{-1}와 같이 나타낸다. 즉,f−1:Y→X, x=f−1(y)\displaystyle f^{-1}:Y\rightarrow X,\ x=f^{-1}(y)이다.-『고등학교 수학 II』

【다】 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여(i) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 증가한다.(ii) f′(x)<0\displaystyle f ^{\prime} (x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 감소한다.-『고등학교 미적분 I』

[문제2] 확률밀도함수 f(x)=be−bx(x≥0,b>0)\displaystyle f(x)=be ^{-bx} (x \ge 0, b>0)인 확률변수 X\displaystyle X가 1보다 작을 확률은 13\displaystyle \frac13보다 크지 않고, 2보다 작을 확률은 12\displaystyle \frac12보다 작지 않을 때, 다음과 같이 정의된 k\displaystyle k의 최솟값과 최댓값을 구하고 풀이과정을 서술하시오.k=∫1bf−1(x)dx\displaystyle k=\int_1^b f^{-1}(x)dxComment. 2번은 정적분의 구간에 역함수가 정의되지 않는 값이 포함되어 k\displaystyle k의 최솟값과 최댓값을 구할 수 없는 출제 오류 문항이다.Caution. 역함수를 정의할 때는 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 됨에 주의해야 한다: 주어진 정의역에서 f\displaystyle f의 치역은 (0,b]\displaystyle (0,b]이므로 역함수도 이 구간에서만 정의된다. 그런데 확률 조건에서 ln⁡2≤b≤ln⁡32<1\displaystyle \ln\sqrt2\le b\le\ln\frac32<1이므로 적분 구간에 역함수의 정의역 밖인 (b,1]\displaystyle (b,1]이 포함된다. 대학 답안은 −1bln⁡xb\displaystyle -\frac1b\ln\frac xb를 이 구간까지 연장하여 계산한 것이다. 따라서 문제에서 정의한 역함수로는 k\displaystyle k를 구할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

동국대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2020mo/jayeon_2

1단계 · 역함수 f−1(x)=−1bln⁡xb\displaystyle f^{-1}(x)=-\frac1b\ln\frac xb를 구하여 k\displaystyle k를 구한다.

f(x)\displaystyle f(x)의 역함수는 f−1(x)=−1bln⁡xb\displaystyle f^{-1}(x)=-\frac1b\ln\frac xb이다.k\displaystyle k를 구하기 위해 x=by\displaystyle x=by로 치환하여 다음과 같이 적분한다.k=∫1b−1bln⁡xb dx=∫1b1−ln⁡y dy=−yln⁡y+y∣1b1=1bln⁡1b−1b+1\displaystyle \left.k=\int_1^b-\frac1b\ln\frac xb\,dx=\int_{\frac1b}^1-\ln y\,dy=-y\ln y+y\right|_{\frac1b}^1=\frac1b\ln\frac1b-\frac1b+1

2단계 · 일계도함수를 이용하여 감소함수임을 확인한다.

k\displaystyle k는 b\displaystyle b의 함수 g(b)=1bln⁡1b−1b+1\displaystyle g(b)=\frac1b\ln\frac1b-\frac1b+1로 볼 수 있고, 일계도함수는 g′(b)=1b2ln⁡b\displaystyle g^{\prime}(b)=\frac1{b^2}\ln b이다.g′(1)=0\displaystyle g^{\prime}(1)=0이고 0<b<1\displaystyle 0<b<1에서 g′(b)<0\displaystyle g ^{\prime} (b)<0이므로 g(b)\displaystyle g(b)는 감소함수이고, b>1\displaystyle b>1에서는 g′(b)>0\displaystyle g ^{\prime} (b)>0이므로 g(b)\displaystyle g(b)는 증가함수이다.

3단계 · b≤ln⁡32<1\displaystyle b\le\ln\frac32<1을 확인한다.

다음으로 X\displaystyle X가 1보다 작을 확률 P(X<1)=∫01be−bxdx=e−bx∣10=1−e−b≤13\displaystyle P(X<1)=\int_0^1be^{-bx}dx=\left.e^{-bx}\right|_1^0=1-e^{-b}\le\frac13으로부터 b≤ln⁡32<ln⁡e=1\displaystyle b\le\ln\frac32<\ln e=1을 알 수 있다.

4단계 · b≥ln⁡2\displaystyle b\ge\ln\sqrt2를 구한다.

그리고 2보다 작을 확률은 12\displaystyle \frac12보다 작지 않기 때문에 P(X<2)=∫02be−bxdx=1−e−2b≥12\displaystyle P(X<2)=\int_0^2be^{-bx}dx=1-e^{-2b}\ge\frac12이어서 b≥ln⁡2\displaystyle b\ge\ln\sqrt2이다.

5단계 · 0<ln⁡2≤b≤ln⁡32<1\displaystyle 0<\ln\sqrt2\le b\le\ln\frac32<1을 구한다.

즉, b\displaystyle b의 범위는 0<ln⁡2≤b≤ln⁡32<1\displaystyle 0<\ln\sqrt2\le b\le\ln\frac32<1이다.

6단계 · 최댓값과 최솟값을 구한다.

b\displaystyle b의 범위는 1보다 작으므로 k\displaystyle k의 최댓값은 b\displaystyle b의 하한인 ln⁡2\displaystyle \ln\sqrt2일 때, 최솟값은 b\displaystyle b의 상한인 ln⁡32\displaystyle \ln\frac32일 때이다. 즉 최댓값과 최솟값은 각각 g(ln⁡2)\displaystyle g\left(\ln\sqrt2\right)와 g(ln⁡32)\displaystyle g\left(\ln\frac32\right)이다.

채점 기준배점
상(1단계)부터 (6단계)까지를 모두 보이고, 논증이 매끄럽고 설득력있는 경우.S
상(1단계)부터 (6단계)까지를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우A
중위 단계 중 5가지 기술한 경우B
중위 단계 중 4가지 기술한 경우C
중위 단계 중 3가지 기술한 경우D
하위 단계 중 한 가지만 기술한 경우E
하어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

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