자연계열 2번

$\displaystyle f(x)$의 역함수는 $\displaystyle f^{-1}(x)=-\frac1b\ln\frac xb$이다.$\displaystyle k$를 구하기 위해 $\displaystyle x=by$로 치환하여 다음과 같이 적분한다.$\displaystyle \left.k=\int_1^b-\frac1b\ln\frac xb\,dx=\int_{\frac1b}^1-\ln y\,dy=-y\ln y+y\right|_{\frac1b}^1=\frac1b\ln\frac1b-\frac1b+1$

$\displaystyle k$는 $\displaystyle b$의 함수 $\displaystyle g(b)=\frac1b\ln\frac1b-\frac1b+1$로 볼 수 있고, 일계도함수는 $\displaystyle g^{\prime}(b)=\frac1{b^2}\ln b$이다.$\displaystyle g^{\prime}(1)=0$이고 $\displaystyle 0<b<1$에서 $\displaystyle g ^{\prime} (b)<0$이므로 $\displaystyle g(b)$는 감소함수이고, $\displaystyle b>1$에서는 $\displaystyle g ^{\prime} (b)>0$이므로 $\displaystyle g(b)$는 증가함수이다.

다음으로 $\displaystyle X$가 1보다 작을 확률 $\displaystyle P(X<1)=\int_0^1be^{-bx}dx=\left.e^{-bx}\right|_1^0=1-e^{-b}\le\frac13$으로부터 $\displaystyle b\le\ln\frac32<\ln e=1$을 알 수 있다. 그리고 2보다 작을 확률은 $\displaystyle \frac12$보다 작지 않기 때문에 $\displaystyle P(X<2)=\int_0^2be^{-bx}dx=1-e^{-2b}\ge\frac12$이어서 $\displaystyle b\ge\ln\sqrt2$이다. 즉, $\displaystyle b$의 범위는 $\displaystyle 0<\ln\sqrt2\le b\le\ln\frac32<1$이다.

$\displaystyle b$의 범위는 1보다 작으므로 $\displaystyle k$의 최댓값은 $\displaystyle b$의 하한인 $\displaystyle \ln\sqrt2$일 때, 최솟값은 $\displaystyle b$의 상한인 $\displaystyle \ln\frac32$일 때이다. 즉 최댓값과 최솟값은 각각 $\displaystyle g\left(\ln\sqrt2\right)$와 $\displaystyle g\left(\ln\frac32\right)$이다.