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자연계열 1번

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동국대 2020학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2020su/jayeon_1

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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 삼각형 ABC\displaystyle ABC에서 각 ∠BAC\displaystyle \angle BAC를 θ\displaystyle \theta라고 할 때, 삼각형의 넓이 S\displaystyle S는S=12AB‾ AC‾sin⁡θ\displaystyle S=\frac12\overline{AB}\,\overline{AC}\sin\theta이다.-『고등학교 기하와 벡터』

[나] 두 벡터 a⃗\displaystyle \vec a, b⃗\displaystyle \vec b가 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta일 때, 두 벡터의 내적은a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta이다.-『고등학교 기하와 벡터』

[다] 사인함수와 코사인함수는sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1을 만족한다.-『고등학교 미적분 II』

[라] 좌표평면 위의 점 A(a1,a2)\displaystyle A(a_1,a_2)를 시점으로 하고 점 (b1,b2)\displaystyle (b_1,b_2)를 종점으로 하는 벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}를 성분으로 나타내어 보자. 두 점 A\displaystyle A, B\displaystyle B의 위치벡터를 각각 a⃗\displaystyle \vec a, b⃗\displaystyle \vec b라고 하면AB→=b⃗−a⃗=(b1,b2)−(a1,a2)=(b1−a1,b2−a2)\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=(b_1,b_2)-(a_1,a_2)=(b_1-a_1,b_2-a_2)이다.-『고등학교 기하와 벡터』

[마] 두 평면 벡터가 a⃗=(a1,a2)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2), b⃗=(b1,b2)\displaystyle \vec b=(b_1,b_2)일 때, 두 벡터의 내적은a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\displaystyle \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2이다.-『고등학교 기하와 벡터』

좌표평면 위의 세 점 A(x1,y1)\displaystyle A(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle B(x_2,y_2), C(x3,y3)\displaystyle C(x_3,y_3)으로 만들어진 삼각형 ABC\displaystyle ABC의 넓이를 제시문 [가]~[마]를 이용하여 x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3, y1\displaystyle y_1, y2\displaystyle y_2, y3\displaystyle y_3로 나타내시오.

그리고 이 공식을 이용하여 A(1,1)\displaystyle A(1,1), B(2,2)\displaystyle B(2,2), C(12,52)\displaystyle C\left(\frac12,\frac52\right)일 때, 삼각형 ABC\displaystyle ABC의 넓이를 구하시오.

해설강의 준비중

동국대 2020학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2020su/jayeon_1

1단계 · 삼각형의 면적을 제시문 [가]를 이용하여 표현할 수 있다.

삼각형의 면적을 제시문 [가]를 이용하여 표현하면S=12∣AB→∣∣AC→∣sin⁡(∠BAC)\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin(\angle BAC)이다.

2단계 · 제시문 [나]와 [다]를 이용하여 삼각형의 면적을 두 벡터의 크기와 내적으로 나타낼 수 있다.

한편 ∠BAC\displaystyle \angle BAC의 코사인 값을 제시문 [나]를 이용하여cos⁡(∠BAC)=AB→⋅AC→∣AB→∣∣AC→∣\displaystyle \cos(\angle BAC)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}로 표현한다. 제시문 [다]를 이용하면 삼각형의 면적은S=12∣AB→∣2∣AC→∣2−(AB→⋅AC→)2\displaystyle S=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}로 나타낼 수 있다.

3단계 · 제시문 [라]와 [마]를 이용하여 벡터와 내적을 벡터의 성분을 사용하여 나타낼 수 있다.

제시문 [라]와 [마]를 이용하면AB→=(x2−x1,y2−y1),\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1),AC→=(x3−x1,y3−y1),\displaystyle \overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1),AB→⋅AC→=(x2−x1)(x3−x1)+(y2−y1)(y3−y1).\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1).

4단계 · 삼각형의 면적을 A,B,C\displaystyle A,B,C의 성분으로 나타낼 수 있다.

마지막으로 삼각형의 면적을 A,B,C\displaystyle A,B,C의 성분으로 나타내면S=12((x2−x1)2+(y2−y1)2)((x3−x1)2+(y3−y1)2)−((x2−x1)(x3−x1)+(y2−y1)(y3−y1))2=12(x2−x1)2(y3−y1)2+(y2−y1)2(x3−x1)2−2(x2−x1)(x3−x1)(y2−y1)(y3−y1)=12((x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1))2=12∣(x2−x1)(y3−y1)−(y2−y1)(x3−x1)∣.\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12\sqrt{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)-((x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1))^2}\\&=\frac12\sqrt{(x_2-x_1)^2(y_3-y_1)^2+(y_2-y_1)^2(x_3-x_1)^2-2(x_2-x_1)(x_3-x_1)(y_2-y_1)(y_3-y_1)}\\&=\frac12\sqrt{((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1))^2}\\&=\frac12|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)|.\end{aligned}

5단계 · 삼각형 ABC\displaystyle ABC의 면적 S=1\displaystyle S=1을 위 식을 이용하여 구할 수 있다.

A(1,1),B(2,2),C(0.5,2.5)\displaystyle A(1,1),B(2,2),C(0.5,2.5)일 때 삼각형 ABC\displaystyle ABC의 면적을 위 식을 이용하여 구하면 S=1\displaystyle S=1이다.

채점 기준배점
상(1단계)부터 (5단계)까지를 모두 보이고, 논증이 매끄럽고 설득력있는 경우S
상(1단계)부터 (5단계)까지를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우A
중(1단계)부터 (4단계)까지의 과정을 기술한 경우B
중(1단계)부터 (3단계)까지의 과정을 기술한 경우C
중(1단계)부터 (2단계)까지의 과정을 기술한 경우D
하위 단계 중 한 가지만 기술한 경우E
하어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

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