자연계열 1번

삼각형의 면적을 제시문 [가]를 이용하여 표현하면$\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin(\angle BAC)$이다. 한편 $\displaystyle \angle BAC$의 코사인 값을 제시문 [나]를 이용하여$\displaystyle \cos(\angle BAC)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$로 표현한다. 제시문 [다]를 이용하면 삼각형의 면적은$\displaystyle S=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}$로 나타낼 수 있다.

제시문 [라]와 [마]를 이용하면$\displaystyle \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1),$$\displaystyle \overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1),$$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1).$

마지막으로 삼각형의 면적을 $\displaystyle A,B,C$의 성분으로 나타내면$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12\sqrt{((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)-((x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1))^2}\\&=\frac12\sqrt{(x_2-x_1)^2(y_3-y_1)^2+(y_2-y_1)^2(x_3-x_1)^2-2(x_2-x_1)(x_3-x_1)(y_2-y_1)(y_3-y_1)}\\&=\frac12\sqrt{((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1))^2}\\&=\frac12|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)|.\end{aligned}$

$\displaystyle A(1,1),B(2,2),C(0.5,2.5)$일 때 삼각형 $\displaystyle ABC$의 면적을 위 식을 이용하여 구하면 $\displaystyle S=1$이다.