자연계열 2번

함수 $\displaystyle y=f(t)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle f(t)\ge0$일 때, 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에 속하는 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle x$까지 곡선 $\displaystyle y=f(t)$와 $\displaystyle t$축 사이의 넓이를 $\displaystyle S(x)$라 하면,$\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt$이다.

이때 $\displaystyle x$의 증분 $\displaystyle \Delta x(\Delta x>0)$에 대한 $\displaystyle S(x)$의 증분을 $\displaystyle \Delta S$라 하면,$\displaystyle \Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)$이다.

한편, 닫힌 구간 $\displaystyle [x,x+\Delta x]$에서 함수 $\displaystyle f(t)$가 연속이면 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 그 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle M$과 $\displaystyle m$이라고 하면$\displaystyle m\Delta x\le\Delta S\le M\Delta x$이므로$\displaystyle m\le\frac{\Delta S}{\Delta x}\le M$이다.

함수 $\displaystyle y=f(t)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이므로$\displaystyle \Delta x\to0$이면 $\displaystyle m\to f(x),\ M\to f(x)$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)\le\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta S}{\Delta x}\le f(x)$이고,함수 $\displaystyle y=f(x)$의 도함수는 $\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$이다.

따라서 $\displaystyle \frac{d}{dx}S(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta S}{\Delta x}=f(x)$이때, $\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt$이므로, $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$이 성립한다.