자연계열 1번

점 $\displaystyle P(x,0)$와 점 $\displaystyle Q(0,y)$사이의 거리가 5로 고정되어 있으므로 제시문 【나】 주어진 거리공식에 따라 $\displaystyle \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=5$이다. 양변을 제곱하면Correction. 거리공식은 제시문 【가】에 있다. 채점기준 1단계와 예시답안의 【나】는 【가】의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle x^2+y^2=25$　(1)이다.

제시문 【라】에서 주어진 음함수의 미분법을 이용하여 미분하면$\displaystyle 2x+2y\frac{dy}{dx}=0$　(2)이다.

변수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 시간 $\displaystyle t$의 함수로 주어졌다고 하자. 그러면 제시문 【다】와 식 (2)에 의하여$\displaystyle \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$　(3)을 얻는다.

문제의 조건에서 $\displaystyle \left|\frac{dx}{dt}\right|=\frac12\left|\frac{dy}{dt}\right|\ne0$이고 영역은 $\displaystyle x,y>0$으로 주어졌으므로 식 (3)을 풀면 $\displaystyle x=2y$이 된다. 이것을 다시 식 (1)에 대입하여 풀면 $\displaystyle x=2\sqrt5$, $\displaystyle y=\sqrt5$를 얻는다. 즉 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle (2\sqrt5,0)$이고, $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle (0,\sqrt5)$이다.