자연계열 2번

문제에서 주어진 3차 함수 $\displaystyle f(x)$가 증가하고 감소하거나 감소하고 증가하면 극댓값 또는 극솟값을 가지게 된다. 만일 극댓값을 가지면 제시문【다】에 의하여 극댓값보다 작은 어떤 값 $\displaystyle k$에 대하여 증가하는 구간에서 $\displaystyle f(c_1)=k$인 $\displaystyle c_1$가 존재하고 또 감소하는 구간에서 $\displaystyle f(c_2)=k$인 $\displaystyle c_2$가 존재한다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 일대일함수가 아니다. 마찬가지로 극소를 가져도 $\displaystyle f(x)$는 일대일함수가 아니다. 따라서 $\displaystyle f(x)$가 일대일함수인 것은 $\displaystyle f(x)$는 실수전체에서 증가 또는 감소함수이라는 것이다. 즉 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b$는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이거나 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$이다. 이 조건은 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$는 중근이나 허근을 가지는 것으로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 판별식은 $\displaystyle D/4=a^2-3b\le0$를 만족해야 한다. 따라서 $\displaystyle a^2-3b\le0$을 만족하는 $\displaystyle a,b$의 순서쌍의 개수는 $\displaystyle a=1$일 때, $\displaystyle b=1,\ldots,6$, $\displaystyle a=2$일 때, $\displaystyle b=2,\ldots,6$, $\displaystyle a=3$일 때, $\displaystyle b=3,\ldots,6$, $\displaystyle a=4$일 때, $\displaystyle b=6$으로 모두 합하면 16가지 경우가 있다. 여기서 상수항의 계수 $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle f(x)$가 일대일 함수인지 아닌지에 관계가 없으므로 무시한다. 그러면 표본공간의 전체 $\displaystyle a,b$의 순서쌍의 개수는 36개이고 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{16}{36}=\frac49$이다.