자연계열 2번

동국대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2021mo/jayeon_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

【가】함수 $\displaystyle f:X\to Y$ 에서 정의역 $\displaystyle X$ 의 임의의 두 원소 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 에 대하여 $\displaystyle x_1\ne x_2$ 이면 $\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f$ 를 일대일함수라고 한다.-『고등학교 수학』

【나】함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여(i) $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 증가한다.(ii) $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 감소한다.-『고등학교 수학 II』

【다】함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$ 이면 $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$ 인 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.-『고등학교 수학 II』

【라】표본공간이 $\displaystyle S$ 인 어떤 시행에서 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률 $\displaystyle P(A)$ 를 $\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ 로 정의하고, 이것을 표본공간 $\displaystyle S$ 에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 수학적 확률이라고 한다.-『고등학교 확률과통계』

[문제2] 주사위를 3번 던져서 나온 숫자를 순서대로 $\displaystyle a,b,c$ 라고 할 때, 삼차 함수 $\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 가 일대일 함수일 확률을 구하고 풀이과정을 서술하시오.

해설강의 준비중

동국대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2021mo/jayeon_2

1단계 · 일대일함수가 될 수 없음을 기술하고

\displaystyle f(x)

는 실수전체에서 증가하거나 감소해야 함을 설명한다.

문제에서 주어진 3차 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 증가하고 감소하거나 감소하고 증가하면 극댓값 또는 극솟값을 가지게 된다. 만일 극댓값을 가지면 제시문【다】에 의하여 극댓값보다 작은 어떤 값 $\displaystyle k$ 에 대하여 증가하는 구간에서 $\displaystyle f(c_1)=k$ 인 $\displaystyle c_1$ 가 존재하고 또 감소하는 구간에서 $\displaystyle f(c_2)=k$ 인 $\displaystyle c_2$ 가 존재한다. 따라서 $\displaystyle f(x)$ 는 일대일함수가 아니다. 마찬가지로 극소를 가져도 $\displaystyle f(x)$ 는 일대일함수가 아니다. 따라서 $\displaystyle f(x)$ 가 일대일함수인 것은 $\displaystyle f(x)$ 는 실수전체에서 증가 또는 감소함수이라는 것이다.

2단계 · 제시문 【나】를 이용하여 도함수의 조건을 기술한다.

즉 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b$ 는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$ 이거나 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$ 이다.

3단계

이 조건은 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 는 중근이나 허근을 가지는 것으로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 의 판별식은 $\displaystyle D/4=a^2-3b\le0$ 를 만족해야 한다.

4단계 ·

\displaystyle a^2-3b\le0

을 만족하는

\displaystyle a,b

의 순서쌍은 모두 16가지임을 구한다.

따라서 $\displaystyle a^2-3b\le0$ 을 만족하는 $\displaystyle a,b$ 의 순서쌍의 개수는 $\displaystyle a=1$ 일 때, $\displaystyle b=1,\ldots,6$ , $\displaystyle a=2$ 일 때, $\displaystyle b=2,\ldots,6$ , $\displaystyle a=3$ 일 때, $\displaystyle b=3,\ldots,6$ , $\displaystyle a=4$ 일 때, $\displaystyle b=6$ 으로 모두 합하면 16가지 경우가 있다.

5단계

여기서 상수항의 계수 $\displaystyle c$ 의 값은 $\displaystyle f(x)$ 가 일대일 함수인지 아닌지에 관계가 없으므로 무시한다. 그러면 표본공간의 전체 $\displaystyle a,b$ 의 순서쌍의 개수는 36개이고 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{16}{36}=\frac49$ 이다.

	채점 기준	배점
상	(1단계)부터 (6단계)까지를 모두 보이고, 논증이 매끄럽고 설득력있는 경우.	S
상	(1단계)부터 (6단계)까지를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	A
중	위 단계 중 5가지 기술한 경우	B
중	위 단계 중 4가지 기술한 경우	C
중	위 단계 중 3가지 기술한 경우	D
하	위 단계 중 한 가지만 기술한 경우	E
하	어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

Correction. 앞의 평가기준은 5단계까지인데, 등급표의 S·A 기준은 6단계까지로 적혀 있다. 대학 자료에서 단계 수가 서로 맞지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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