자연계열 3번

모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(2x+\sin x)=\int_0^x f^{\prime}(2t+\sin t)(2+\cos t)dt$가 성립하므로위 식에 $\displaystyle f^{\prime}(2x+\sin x)=6x+4\sin x$를 대입하면$\displaystyle f(2x+\sin x)=\int_0^x(6t+4\sin t)(2+\cos t)dt$이다.

이 적분을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}f(2x+\sin x)&=\int_0^x(6t+4\sin t)(2+\cos t)dt=\Biggl[6t^2+6t\sin t-2\cos^2t-2\cos t\Biggr]_0^x\\&=6x^2+6x\sin x-2\cos^2x-2\cos x+4\end{aligned}$이다.

그러므로 $\displaystyle f(2x+\sin x)=6x^2+6x\sin x-2\cos^2x-2\cos x+4$에 $\displaystyle x=2\pi$를 대입하면 $\displaystyle f(4\pi)=24\pi^2$이고

$\displaystyle \int_0^\pi f(2x+\sin x)dx=\Biggl[2x^3+3x-6x\cos x+4\sin x-\sin x\cos x\Biggr]_0^\pi=2\pi^3+9\pi=\pi(2\pi^2+9)$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(2x+\sin x)=6x+4\sin x$에서 양변을 미분하면$\displaystyle f^{\prime\prime}(2x+\sin x)(2+\cos x)=6+4\cos x$이다. 즉, $\displaystyle f^{\prime\prime}(2x+\sin x)=\frac{6+4\cos x}{2+\cos x}$이다.

$\displaystyle x=\frac\pi2$를 대입하면, $\displaystyle f^{\prime\prime}(\pi+1)=3$이다.

$\displaystyle h(x)=2x+\sin x$라고 하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=2+\cos x>0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 증가하는 연속함수이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$이므로 함수 $\displaystyle h(x)=2x+\sin x$의 치역은 실수 전체의 집합이다.

그러므로 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$의 최댓값과 최솟값은 $\displaystyle f^{\prime\prime}(2x+\sin x)=\frac{6+4\cos x}{2+\cos x}$의 최댓값과 최솟값과 각각 같다. $\displaystyle t=\cos x$ $\displaystyle (-1\le t\le1)$로 치환하면$\displaystyle \frac{6+4\cos x}{2+\cos x}=\frac{6+4t}{2+t}=4+\frac{-2}{2+t}$이고 $\displaystyle \frac{6+4t}{2+t}=4+\frac{-2}{2+t}$는 $\displaystyle [-1,1]$에서 증가하는 함수이므로

$\displaystyle t=-1$일 때 최솟값 $\displaystyle 2$, $\displaystyle t=1$일 때, 최댓값 $\displaystyle \frac{10}{3}$를 갖는다.