동국대 2021학년도 수시 자연계열 3번 해설

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S= \int _{a} ^{b} {| f(x) | dx}$ 이다.-『고등학교 수학II』

[나] 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g ^{\prime} (t)$ 가 $\displaystyle a=g( \alpha )$ , $\displaystyle b=g( \beta )$ 일 때 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 를 포함하는 구간에서 연속이면 $\displaystyle \int _{a} ^{b} {f(x) dx= \int _{\alpha } ^{\beta } {f( g(t) ) g ^{\prime} (t) dt}}$ 이다.-『고등학교 미적분』

[다] 함수 $\displaystyle y=x ^{r}$ ( $\displaystyle r$ 은 실수)의 부정적분은1) $\displaystyle r \ne -1$ 일 때, $\displaystyle \int {x ^{r} dx= \frac{1}{r+1} x ^{r+1} +C}$ 2) $\displaystyle r =-1$ 일 때, $\displaystyle \int {x ^{-1} dx=\ln | x |+C}$ -『고등학교 미적분』

[라] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분 $\displaystyle F (x)$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle b$ 까지의 정적분을 $\displaystyle \int _{a} ^{b} {f(x) dx= \Biggl[ F (x) \Biggr] _{a}^{b} =F (b)-F (a)}$ 라고 한다.-『고등학교 수학II』

[마] 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$ 의 임의의 점 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S (x)$ 인 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V= \int _{a} ^{b} {S (x) dx}$ 이다(단, $\displaystyle S (x)$ 는 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$ 에서 연속).-『고등학교 미적분』

[문제3] 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 정의역 $\displaystyle \left\{ x | x \ge 3 \right\}$ 에서 $\displaystyle f(x) \ge 0$ 이며 연속이고, 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위 임의의 점 $\displaystyle (t, f(t))$ 가 $\displaystyle \int _{3} ^{t} { (s-3) ^{2} ds + \int _{0} ^{f(t)} {( \sqrt {s} +3) ds=t f(t)}}$ 를 만족한다고 할 때, 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 를 구하시오. 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle x=4$ 로 둘러싸인 도형 $\displaystyle R$ 의 넓이를 구하시오. $\displaystyle R$ 을 밑면으로 하는 입체 도형을 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오.

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1단계 · 함수의 정의역과

\displaystyle f(x)\ge0

로부터

\displaystyle t\ge3

,

\displaystyle f(t)\ge0

임을 보임.

[1] 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 정의역 $\displaystyle \left\{ x | x \ge 3 \right\}$ 에서 $\displaystyle f(x) \ge 0$ 이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위 임의의 점 $\displaystyle (t, f(t))$ 는 $\displaystyle t \ge 3$ , $\displaystyle f(t) \ge 0$ 을 만족한다.

2단계 · 주어진 조건을 분석해 함수

\displaystyle y=f(x)=(x-3)^2

(단,

\displaystyle x\ge3

)을 구함.

[2] $\displaystyle \int _{3} ^{t} { (s-3) ^{2} ds + \int _{0} ^{f(t)} {( \sqrt {s} +3) ds=t f(t)}}$ 이므로 $\displaystyle t f(t)= \int _{3} ^{t} { (s-3) ^{2} ds + \int _{0} ^{f(t)} {( \sqrt {s} +3) ds= \int _{0} ^{t-3} { x ^{2} dx + \frac{2}{3} f(t) ^{\frac{3}{2}} +3 f(t)}}} = \frac{1}{3} (t-3) ^{3} + \frac{2}{3} f(t) ^{\frac{3}{2}} +3 f(t)$ 이고 $\displaystyle A=t-3$ , $\displaystyle B= \sqrt {f(t)}$ 를 이용하여 정리하면 $\displaystyle A ^{3} +2B ^{3} -3AB ^{2} =0$ 이 된다. 이를 인수분해 하면 $\displaystyle (A-B) ^{2} (A+2B)=0$ 이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위 임의의 점 $\displaystyle (t, f(t))$ 는 $\displaystyle \sqrt {f(t)} =t-3$ 또는 $\displaystyle t-3+2 \sqrt {f(t)} =0$ 을 만족한다. $\displaystyle t \ge 3$ , $\displaystyle f(t) \ge 0$ 이므로 구하려는 연속 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle y=(x-3)^2$ , (단, $\displaystyle x\ge3$ )이다.

3단계 · 도형

\displaystyle R

의 넓이

\displaystyle \frac13

과 입체도형의 부피

\displaystyle \frac15

을 구함.

[3] 함수 $\displaystyle y=(x-3) ^{2}$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle x=4$ 로 둘러싸인 도형 $\displaystyle R$ 의 넓이는 $\displaystyle \int _{3} ^{4} {(x-3) ^{2} dx= \int _{0} ^{1} {s ^{2} ds} = \frac{1}{3}}$ 이다. $\displaystyle R$ 을 밑면으로 하는 입체 도형을 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는 $\displaystyle \int _{3} ^{4} {(x-3) ^{4} dx} = \int _{0} ^{1} {s ^{4} ds= \frac{1}{5}}$ 이다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [3단계]까지를 모두 보이고 논증이 매끄럽고 설득력이 있는 경우	S
상	[1단계]부터 [3단계]까지를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	A
중	[1단계]부터 [2단계]까지를 모두 보이고 논증이 매끄럽고 설득력이 있는 경우	B
중	[1단계]부터 [2단계]까지를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	C
중	[1단계]부터 [3단계]까지 중 한 가지를 보이고 논증이 매끄럽고 설득력이 있는 경우	D
하	[1단계]부터 [3단계]까지 중 한 가지를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	E
하	어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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자연계열 3번

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