자연계열 3번

[1] 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 정의역 $\displaystyle \left\{ x | x \ge 3 \right\}$에서 $\displaystyle f(x) \ge 0$이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위 임의의 점 $\displaystyle (t, f(t))$는 $\displaystyle t \ge 3$, $\displaystyle f(t) \ge 0$을 만족한다.

[2] $\displaystyle \int _{3} ^{t} { (s-3) ^{2} ds + \int _{0} ^{f(t)} {( \sqrt {s} +3) ds=t f(t)}}$이므로$\displaystyle t f(t)= \int _{3} ^{t} { (s-3) ^{2} ds + \int _{0} ^{f(t)} {( \sqrt {s} +3) ds= \int _{0} ^{t-3} { x ^{2} dx + \frac{2}{3} f(t) ^{\frac{3}{2}} +3 f(t)}}} = \frac{1}{3} (t-3) ^{3} + \frac{2}{3} f(t) ^{\frac{3}{2}} +3 f(t)$이고 $\displaystyle A=t-3$, $\displaystyle B= \sqrt {f(t)}$를 이용하여 정리하면 $\displaystyle A ^{3} +2B ^{3} -3AB ^{2} =0$이 된다. 이를 인수분해 하면$\displaystyle (A-B) ^{2} (A+2B)=0$이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위 임의의 점 $\displaystyle (t, f(t))$는$\displaystyle \sqrt {f(t)} =t-3$ 또는 $\displaystyle t-3+2 \sqrt {f(t)} =0$을 만족한다. $\displaystyle t \ge 3$, $\displaystyle f(t) \ge 0$이므로 구하려는 연속 함수 $\displaystyle y=f(x)$는$\displaystyle y=(x-3)^2$, (단, $\displaystyle x\ge3$)이다.

[3] 함수 $\displaystyle y=(x-3) ^{2}$의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 $\displaystyle x=4$로 둘러싸인 도형 $\displaystyle R$의 넓이는$\displaystyle \int _{3} ^{4} {(x-3) ^{2} dx= \int _{0} ^{1} {s ^{2} ds} = \frac{1}{3}}$ 이다. $\displaystyle R$을 밑면으로 하는 입체 도형을 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는$\displaystyle \int _{3} ^{4} {(x-3) ^{4} dx} = \int _{0} ^{1} {s ^{4} ds= \frac{1}{5}}$이다.