자연계열 1번

1) 주어진 포물선의 초점이 $\displaystyle F(p,0)$이고 준선이 $\displaystyle x=-p$이므로 제시문 [나]에서와 같이 포물선의 방정식은 $\displaystyle y^2=4px$이다. 포물선 위의 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$에서의 접선의 방정식은 제시문 [다]에서 주어진 것과 같이 $\displaystyle y_1y=2p(x+x_1)$이다. 이 접선과 준선 $\displaystyle x=-p$와의 교점을 구하기 위하여 준선의 식을 접선의 식에 대입하면 $\displaystyle y_1y=2p(-p+x_1)$가 되고 따라서 $\displaystyle y=\frac{2p(x_1-p)}{y_1}$을 얻는다. 즉 접선과 준선의 교점 $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle \left(-p,\frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)$이다. 점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle y_1^2=4px_1$을 만족하므로 교점 $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle \left(-p,\frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)=\left(-p,\frac{y_1}2-\frac{2p^2}{y_1}\right)$이다.

점 $\displaystyle P(x_1,y_1)$에서 준선 $\displaystyle x=-p$에 내린 수선의 발 $\displaystyle H$의 좌표는 $\displaystyle (-p,y_1)$이므로 점 $\displaystyle Q$와 점 $\displaystyle H$사이의 거리는 $\displaystyle \left|\frac{y_1}2-\left(\frac{y_1}2-\frac{2p^2}{y_1}\right)\right|=\frac{|y_1|}2+\frac{2p^2}{|y_1|}$이다.Correction. 점 $\displaystyle H$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y_1$이므로, 거리식에서 절댓값 안의 첫 번째 $\displaystyle \frac{y_1}{2}$는 $\displaystyle y_1$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한 포물선의 초점 $\displaystyle F$와 점 $\displaystyle Q$사이의 거리의 제곱은 $\displaystyle 4p^2+\left(\frac{y_1}2-\frac{2p^2}{y_1}\right)^2=\left(\frac{y_1}2+\frac{2p^2}{y_1}\right)^2$이므로 초점 $\displaystyle F$와 점 $\displaystyle Q$사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|y_1|}2+\frac{2p^2}{|y_1|}$으로 점 $\displaystyle Q$와 점 $\displaystyle H$사이의 거리와 같다.

2) 제시문 [라]에서 주어진 것과 같이 점 $\displaystyle Q$와 점 $\displaystyle H$사이 거리는 $\displaystyle |y_1|=2|p|$일 때, $\displaystyle 2\sqrt{p^2}=2|p|$를 최솟값으로 가진다. 이때 $\displaystyle x_1=\frac{y_1^2}{2p}=p$이므로 점 $\displaystyle Q$와 점 $\displaystyle H$사이 거리가 최솟값을 가질 때의 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle (p,2p)$ 또는 $\displaystyle (p,-2p)$이다.Correction. $\displaystyle x_1=\frac{y_1^2}{2p}$에서 분모 $\displaystyle 2p$는 $\displaystyle 4p$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.