자연계열 2번

동국대 2022학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2022mo/jayeon_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 사건 $\displaystyle A,B$ 중 어느 한 사건이 일어나면 다른 사건은 일어나지 않을 때, 즉 $\displaystyle A\cap B=\phi$ 일 때, $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 는 서로 배반이라고 하고 이 두 사건을 서로 배반사건이라고 한다.표본 공간 $\displaystyle S$ 의 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여1) $\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(B)-\mathrm P(A\cap B)$ 2) $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반 사건이면 $\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(B)$ -『고등학교 확률과 통계』

[나] 일반적으로 확률이 0이 아닌 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났다고 가정할 때 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률을 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률이라고 하고, 이것을 기호로 $\displaystyle \mathrm P(B\mid A)$ 와 같이 나타낸다. 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률은 $\displaystyle \mathrm P(B\mid A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}$ 　(단, $\displaystyle \mathrm P(A)\ne0$ )이다.-『고등학교 확률과 통계』

[다] 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부 확률은 $\displaystyle \mathrm P(B\mid A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}\quad(\mathrm P(A)>0)$ 이고, 이 식의 양변에 $\displaystyle \mathrm P(A)$ 를 곱하면 $\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B\mid A)$ 이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(B)\mathrm P(A\mid B)\ (\mathrm P(B)>0)$ 이다.-『고등학교 확률과 통계』

[문제2] 어느 지역에서 어떤 병에 걸린 사람의 비율은 1%라고 가정하자. 이 병을 진단하는 키트 C, D 두 가지가 새로이 개발되었다. 두 키트로 이 병을 진단할 때, 진단확률은 아래와 같다.

	C 키트	D 키트
병에 걸린 사람을 병에 걸렸다고 정확하게 진단할 확률	98%	99%
병에 걸리지 않은 사람을 병에 걸렸다고 잘못 진단할 확률	1%	2%

이 지역에서 임의로 한 명을 선택하여 검사를 한 결과 병에 걸렸다고 진단하였을 때, 그 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률은 C, D 두 키트 중 어느 키트가 높은 지 제시문을 이용하여 설명하시오.

<15줄 이내>

해설강의 준비중

동국대 2022학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2022mo/jayeon_2

제 1단계 · 사건

\displaystyle A

를 이 지역에서 임의로 선택된 사람이 감염자인 사건이고, 사건

\displaystyle B

는 이 지역에서 선택된 사람이 양성반응을 나타내는 사건이라고 정의할 수 있다.

사건 $\displaystyle A$ 를 이 지역에서 임의로 선택된 사람이 감염자인 사건이고, 사건 $\displaystyle B$ 는 이 지역에서 임의로 선택된 사람이 양성반응을 나타내는 사건이라고 하자.

제 2단계 · 이 지역에서 임의로 한 명을 선택하여 검사를 한 결과 병에 걸렸다고 진단하였을 때, 그 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률을 제시문 [나]를 이용하여 조건부 확률

\displaystyle P(A|B)

로 나타낼 수 있다.

이 지역에서 임의로 한 명을 선택하여 검사를 한 결과 병에 걸렸다고 진단하였을 때, 그 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률을 제시문 [나]에 의해 조건부 확률 $\displaystyle P(A|B)$ 로 나타낼 수 있다.

제 3단계 ·

\displaystyle P(A)=0.01

와 확률의 덧셈정리와 확률의 곱셈정리를 이용하여

\displaystyle P(B)=P(B|A)+P(B|A^c)=P(A)P(A\cap B)+P(A^c)P(A^c\cap B)

로 표현하고, 이를 이용하여

\displaystyle C,D

에 대해 키트에 대해

\displaystyle P(B)

의 값을 다음과 같이 구할 수 있다.

\displaystyle C\text{키트}:P(B)=0.01\times0.98+0.99\times0.01=0.0197,

\displaystyle D\text{키트}:P(B)=0.01\times0.99+0.99\times0.02=0.0297

$\displaystyle P(A)=0.01$ 와 확률의 덧셈정리와 확률의 곱셈정리를 이용하면 $\displaystyle P(B)=P(B|A)+P(B|A^c)=P(A)P(A\cap B)+P(A^c)P(A^c\cap B)$ Correction. 확률을 분해한 식은 $\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)=P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c)$ 로 써야 한다. 뒤의 수치 계산과 최종 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서, $\displaystyle C,D$ 에 대해 키트에 대해 $\displaystyle P(B)$ 의 값은 다음과 같다. $\displaystyle C\text{키트}:P(B)=0.01\times0.98+0.99\times0.01=0.0197,$ $\displaystyle D\text{키트}:P(B)=0.01\times0.99+0.99\times0.02=0.0297.$

제 4단계 · 조건부 확률의 정의와 확률의 곱셈정리를 이용하여

\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}

로 나타내고

\displaystyle C,D

키트에 대해 조건부 확률

\displaystyle P(A|B)

를 다음과 같이 구할 수 있다.

\displaystyle C\text{키트}:P(A|B)=\frac{0.0098}{0.0197}=\frac{98}{197},

\displaystyle D\text{키트}:P(A|B)=\frac{0.0099}{0.0297}=\frac{99}{297}.

따라서,

\displaystyle C

키트가

\displaystyle D

키트보다 이 지역 임의의 한 명이 병에 걸렸다고 진단했을 때 실제로 병에 걸렸을 확률이 높다.

조건부 확률의 정의와 확률의 곱셈정리를 이용하여 $\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$ 로 나타낼 수 있고, $\displaystyle C,D$ 키트에 대해 조건부 확률 $\displaystyle P(A|B)$ 를 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle C\text{키트}:P(A|B)=\frac{0.0098}{0.0197}=\frac{98}{197},$ $\displaystyle D\text{키트}:P(A|B)=\frac{0.0099}{0.0297}=\frac{99}{297}.$ 따라서, 이 지역 임의의 한 명이 병에 걸렸다고 진단했을 때 실제로 병에 걸렸을 확률은 $\displaystyle C$ 키트가 $\displaystyle D$ 키트보다 높다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [4단계]까지를 모두 보이고, 논증이 매끄럽고 설득력이 있는 경우	S
상	[1단계]부터 [4단계]까지를 모두 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	A
중	[1단계]부터 [3단계]까지의 과정을 기술한 경우	B
중	[1단계]부터 [2단계]까지의 과정을 기술한 경우	C
중	[1단계]만 기술한 경우	D
하	내용과 관계없는 것을 기술한 경우	E
하	백지인 경우	F

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