자연계열 2번

사건 $\displaystyle A$를 이 지역에서 임의로 선택된 사람이 감염자인 사건이고, 사건 $\displaystyle B$는 이 지역에서 임의로 선택된 사람이 양성반응을 나타내는 사건이라고 하자.

이 지역에서 임의로 한 명을 선택하여 검사를 한 결과 병에 걸렸다고 진단하였을 때, 그 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률을 제시문 [나]에 의해 조건부 확률 $\displaystyle P(A|B)$로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle P(A)=0.01$와 확률의 덧셈정리와 확률의 곱셈정리를 이용하면$\displaystyle P(B)=P(B|A)+P(B|A^c)=P(A)P(A\cap B)+P(A^c)P(A^c\cap B)$Correction. 확률을 분해한 식은 $\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)=P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c)$로 써야 한다. 뒤의 수치 계산과 최종 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다. 따라서, $\displaystyle C,D$에 대해 키트에 대해 $\displaystyle P(B)$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle C\text{키트}:P(B)=0.01\times0.98+0.99\times0.01=0.0197,$$\displaystyle D\text{키트}:P(B)=0.01\times0.99+0.99\times0.02=0.0297.$

조건부 확률의 정의와 확률의 곱셈정리를 이용하여$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$로 나타낼 수 있고, $\displaystyle C,D$키트에 대해 조건부 확률 $\displaystyle P(A|B)$를 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle C\text{키트}:P(A|B)=\frac{0.0098}{0.0197}=\frac{98}{197},$$\displaystyle D\text{키트}:P(A|B)=\frac{0.0099}{0.0297}=\frac{99}{297}.$따라서, 이 지역 임의의 한 명이 병에 걸렸다고 진단했을 때 실제로 병에 걸렸을 확률은 $\displaystyle C$ 키트가 $\displaystyle D$ 키트보다 높다.