자연계열 3번

문제 3]의 1) 예시답안:주어진 조건에 의해 $\displaystyle t=3h(t)+\sin h(t)$를 만족한다. 음함수 미분법(또는 역함수 미분법)에 의해 $\displaystyle 1=(3+\cos h(t))h^{\prime}(t)$를 만족하므로 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac1{3+\cos h(t)}$이다. $\displaystyle t=a$에서 $\displaystyle h^{\prime}(t)$가 최솟값을 가지므로 $\displaystyle \cos h(a)=1$이다. 그러므로 $\displaystyle a=3h(a)+\sin h(a)$를 만족한다. 그런데 $\displaystyle \sin^2h(a)=1-\cos^2h(a)=0$이므로 $\displaystyle a=3h(a)$를 만족한다.따라서 $\displaystyle \cos h(a)=\cos\left(\frac a3\right)=1$을 만족하는 가장 작은 양수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 6\pi$이다.

[문제 3]의 1) 예시답안:Correction. 두 번째 예시답안 제목의 ‘1)’은 ‘2)’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.함수 $\displaystyle y=3x+\sin x$에서 $\displaystyle y^{\prime}=3+\cos x>0$이므로 $\displaystyle y=3x+\sin x$는 치역이 실수 전체의 집합인 증가함수이다. 그리고 $\displaystyle 0\le x\le2\pi$에서 $\displaystyle 0\le y=3x+\sin x\le6\pi$의 범위를 갖는다.$\displaystyle 0\le t\le6\pi$를 만족하는 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle t=3h(t)+\sin h(t)$를 만족하는 $\displaystyle h(t)$가 존재하고$\displaystyle f(t)=\int_0^{h(t)}t-(3x+\sin x)\,dx+\int_{h(t)}^{2\pi}(3x+\sin x-t)\,dx$가 성립한다. 적분하면$\displaystyle f(t)=2\left(th(t)-\frac{3h(t)^2}2+\cos h(t)\right)-2\pi t-2+6\pi^2$이다.

$\displaystyle 0<t<6\pi$에 대하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(t)=2h^{\prime}(t)(t-3h(t)-\sin h(t))+2(h(t)-\pi)$이고 $\displaystyle t=3h(t)+\sin h(t)$를 만족하므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=2(h(t)-\pi)$이다.

$\displaystyle 0<t<6\pi$에서 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle 0<h(t)<2\pi$이고 증가하는 연속함수이다. 그러므로 $\displaystyle h(t)=\pi$인 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$이고 $\displaystyle f(t)$가 최솟값을 갖는다. $\displaystyle t=3h(t)+\sin h(t)$에서 $\displaystyle h(t)=\pi$이면 $\displaystyle t=3\pi$이다. 따라서 $\displaystyle a=3\pi$이다.