자연계열 1번

[1단계]식 (1)을 0이 아닌 실수 $\displaystyle y$로 나누고 $\displaystyle f(0)=0$임을 이용하면$\displaystyle \frac{f(x+y)-f(x-y)}{2y}=\frac{f(y)-f(0)}y f^{\prime}(x)$이다. $\displaystyle y$가 0으로 가까이 가면$\displaystyle \lim_{y\to0}\frac{f(x+y)-f(x-y)}{2y}=\lim_{y\to0}\frac{f(y)-f(0)}y f^{\prime}(x)$미분계수의 정의에 의해$\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)f^{\prime}(x)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 상수함수 0이다. $\displaystyle f(0)=0$이고 $\displaystyle f(1)=a>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 상수함수 0이 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$이다.

[2단계]식 (1)에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f(y)=-f(-y)$를 유도할 수 있고, 양변을 $\displaystyle y$에 관하여 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(y)=f^{\prime}(-y)$를 얻는다. 식(1)에 $\displaystyle y=1$을 대입하면$\displaystyle f(x+1)-f(x-1)=2f(1)f^{\prime}(x)$$\displaystyle f(1)=a$를 대입하고 위 식을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x+1)-f^{\prime}(x-1)=2af^{\prime\prime}(x)$이다. $\displaystyle x=0$을 대입하고 $\displaystyle f^{\prime}(y)=f^{\prime}(-y)$임을 이용하면,$\displaystyle 2af^{\prime\prime}(0)=f^{\prime}(1)-f^{\prime}(-1)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$이다.

[3단계]식 (1)에서 $\displaystyle y=x$를 대입하면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(2x)=2f(x)f^{\prime}(x)$이고$\displaystyle \int_0^2f(x)dx=\int_0^12f(2t)dt=\int_0^14f(t)f^{\prime}(t)dt=\Biggl[2\{f(t)\}^2\Biggr]_0^1=2(\{f(1)\}^2-\{f(0)\}^2)=2a^2$을 유도할 수 있다.