자연계열 3번

1단계 · 출제 의도에 가장 잘 들어맞는 답안의 풀이 순서는 다음과 같다. 문제를 해결하기 위해 필요한 상황, 즉 수면의 높이, 입체도형이 물에 잠긴 깊이, 입체도형의 단면의 넓이 등을 변수나 함수로 지정함.

[첫 번째 풀이]입체도형이 물통의 수면에 입수하기 직전의 시각을 $\displaystyle t=0$이라 하고 그때 수면의 높이를 $\displaystyle h_0$라 하자. 또한, 왼쪽 그림과 같이 시간 $\displaystyle t\ge0$에 대해 입체도형이 일부분 잠겨 물이 올라간 수면의 높이를 $\displaystyle h(t)$, 입체도형의 최하단에 있는 점 P에서 수면에 수직으로 올린 수선의 발 R까지의 높이를 $\displaystyle z(t)$, 수면을 확장한 평면 N으로 자른 입체도형의 단면의 넓이를 $\displaystyle S(z(t))$, 마지막으로 물통의 밑바닥으로부터 높이가 $\displaystyle h_0$인 평면 M에 점 P로부터 수직으로 올린 수선의 발을 Q라 하자.

「채점시 평가제외 사항」입체도형이 물통 속에 완전히 잠기는 순간의 시각을 $\displaystyle t=a$라 하면, $\displaystyle z(t)$는 열린구간 $\displaystyle (0,a)$에서 미분가능한 함수임을 다음처럼 보일 수 있다. 먼저$\displaystyle \int_0^{z(t)}(A-S(x))dx=Avt$로부터 $\displaystyle z(t)$가 연속임을 보일 수 있다. 물통이 충분히 크므로 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle 0<m\le A-S(x)$를 만족하는 양수 $\displaystyle m$이 존재한다. 따라서,$\displaystyle |Av\Delta t|=\left|\int_{z(t)}^{z(t+\Delta t)}(A-S(x))dx\right|\ge m|z(t+\Delta t)-z(t)|$이 되어 $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}(z(t+\Delta t)-z(t))=0$, 즉 연속이 된다. 또한 충분히 작은 임의의 양수 $\displaystyle \Delta t$에 대해$\displaystyle \int_{z(t)}^{z(t+\Delta t)}(A-S(x))dx=Av\Delta t>0,\quad A-S(x)\ge m>0$이므로 $\displaystyle z(t+\Delta t)-z(t)>0$, 즉 증가함수이다. 이제 미분가능함을 보이기 위해$\displaystyle F(x)=\int_0^x(A-S(u))du$로 두면 $\displaystyle F(x)$는 미분가능하고 $\displaystyle F^{\prime}(x)=A-S(x)\ge m>0$이다. 이제 $\displaystyle z(t)$가 증가함수이므로$\displaystyle Av=\lim_{\Delta t\to0}\frac1{\Delta t}\int_{z(t)}^{z(t+\Delta t)}(A-S(x))dx=\lim_{\Delta t\to0}\left(\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}\cdot\frac{F(z(t+\Delta t))-F(z(t))}{z(t+\Delta t)-z(t)}\right)$이고, $\displaystyle F(x)$는 미분가능하며 $\displaystyle z(t)$가 연속이기 때문에$\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{F(z(t+\Delta t))-F(z(t))}{z(t+\Delta t)-z(t)}=F^{\prime}(z(t))>0$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{z(t+\Delta t)-z(t)}{\Delta t}$는 존재하고 그 극한값은 $\displaystyle Av/F^{\prime}(z(t))$가 된다.