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자연계열 2번

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동국대 2022학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2022su/jayeon_2

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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 x=t\displaystyle x=t에서의 미분계수 f′(t)\displaystyle f^{\prime}(t)는 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위의 점 (t,f(t))\displaystyle (t,f(t))에서의 접선의 기울기와 같다.-『고등학교 수학II』

[나] 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 x\displaystyle x가 x=f(t)\displaystyle x=f(t)일 때 시각 t\displaystyle t에서 점 P의 속도 v\displaystyle v는v=dxdt=f′(t)\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t)-『고등학교 수학II』 / 『고등학교 미적분』

[다] 수직선 위를 움직이는 점 P의 운동 방향은 점 P의 속도 v\displaystyle v가 v>0\displaystyle v>0일 때에는 양의 방향이고, v<0\displaystyle v<0일 때에는 음의 방향이다.-『고등학교 수학II』

[라] 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)을 지나고 기울기가 m\displaystyle m인 직선의 방정식은y−y1=m(x−x1)\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)-『고등학교 수학』

[문제2] 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다.▪ 시각 t=0\displaystyle t=0에서 P의 위치는 1이고 Q의 위치는 −1\displaystyle -1이다.▪ 시각 t=0\displaystyle t=0부터 두 점 P, Q가 처음으로 만날 때까지 P는 일정한 속도 −19\displaystyle -\frac19로, Q는 일정한 속도 a (a>0)\displaystyle a\ (a>0)로 움직인다.시각 t (0<t≤9)\displaystyle t\ (0<t\le9)에서 두 점 P, Q의 속도는 다음의 두 경우에만 바뀐다.▪ 두 점 P, Q가 만나면 만남 직후 두 점의 속도는 서로 바뀐다.▪ 두 점 P, Q 중 어떤 점의 위치가 −1\displaystyle -1또는 1이 된 직후 그 점의 속도는 부호만 바뀐다.이와 같은 조건 하에 시각 t=9\displaystyle t=9에서 두 점 P, Q가 다섯 번째 만나도록 a\displaystyle a값을 구하는 과정을 서술하고, 두 점 P, Q가 네 번째 만나는 시각 t\displaystyle t를 구하시오. 그리고 이 네 번째 만남 직후 점 P의 속도를 구하시오.

<15줄 이내> [30점]

해설강의 준비중

동국대 2022학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2022su/jayeon_2

1단계 · 두 점 P, Q의 위치를 각각 시각 t\displaystyle t에 대한 함수 f(t)\displaystyle f(t)와 g(t)\displaystyle g(t)로 두고 시각 t=0\displaystyle t=0부터 두 점이 처음 만날 때까지 f(t)=−19t+1, g(t)=at−1\displaystyle f(t)=-\frac19t+1,\ g(t)=at-1임을 보임.

[1단계] 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치를 f(t)\displaystyle f(t), 점 Q의 시각 t\displaystyle t에서의 위치를 g(t)\displaystyle g(t)라고 하면 시각 t=0\displaystyle t=0부터 두 점이 처음 만날 때까지 f(t)=−t9+1, g(t)=at−1\displaystyle f(t)=-\frac t9+1,\ g(t)=at-1이다.

2단계 · 문제의 조건을 분석해 f(t), g(t)\displaystyle f(t),\ g(t)를 두 점이 다섯 번째 만날 때까지 구하고 a=1\displaystyle a=1을 구함.

[2단계] 시각 ti\displaystyle t_i를 두 점 P,Q가 i\displaystyle i번째 만나는 시각이라고 하면 t5=9\displaystyle t_5=9이며 f(t), g(t)\displaystyle f(t),\ g(t)는 다음과 같다.f(t)=−t9+1 (0≤t≤t1),f(t)=at−1 (t1<t≤2a),f(t)=−at+3 (2a<t≤t2),\displaystyle f(t)=-\frac t9+1\ (0\le t\le t_1),\quad f(t)=at-1\ (t_1<t\le\frac2a),\quad f(t)=-at+3\ (\frac2a<t\le t_2),f(t)=−t9+1 (t2<t≤t3),f(t)=at−5 (t3<t≤6a),f(t)=−at+7 (6a<t≤t4),\displaystyle f(t)=-\frac t9+1\ (t_2<t\le t_3),\quad f(t)=at-5\ (t_3<t\le\frac6a),\quad f(t)=-at+7\ (\frac6a<t\le t_4),f(t)=−t9+1 (t4<t≤t5),\displaystyle f(t)=-\frac t9+1\ (t_4<t\le t_5),g(t)=at−1 (0≤t≤t1),g(t)=−t9+1 (t1<t≤t2),g(t)=−at+3 (t2<t≤4a),g(t)=at−5 (4a<t≤t3),g(t)=−t9+1 (t3<t≤t4),\displaystyle g(t)=at-1\ (0\le t\le t_1),\quad g(t)=-\frac t9+1\ (t_1<t\le t_2),\quad g(t)=-at+3\ (t_2<t\le\frac4a),\quad g(t)=at-5\ (\frac4a<t\le t_3),\quad g(t)=-\frac t9+1\ (t_3<t\le t_4),g(t)=−at+7 (t4<t≤8a),g(t)=at−9 (8a<t≤t5).\displaystyle g(t)=-at+7\ (t_4<t\le\frac8a),\quad g(t)=at-9\ (\frac8a<t\le t_5).시각 t5=9\displaystyle t_5=9에서 두 점 P,Q가 만나므로 0=f(9)=g(9)=9a−9\displaystyle 0=f(9)=g(9)=9a-9이고, 따라서 a=1\displaystyle a=1이다.

3단계 · 두 점 P,Q가 네 번째 만나는 시각 274\displaystyle \frac{27}4을 구함.

[3단계] a=1\displaystyle a=1이고 −t4+7=f(t4)=g(t4)=−19t4+1\displaystyle -t_4+7=f(t_4)=g(t_4)=-\frac19t_4+1이므로 t4=274\displaystyle t_4=\frac{27}4이다.

4단계 · 이 네 번째 만남 직후 점 P의 속도 −19\displaystyle -\frac19을 구함.

[4단계] 네 번째 만남 직후 점 P의 속도는 시각 t>t4\displaystyle t>t_4에서 t\displaystyle t가 t4\displaystyle t_4에 충분히 가까울 때 함수 f(t)\displaystyle f(t)의 기울기 f′(t)=−19\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac19와 같으므로 구하는 점 P의 속도는 −19\displaystyle -\frac19이다.

배점채점 기준
상S[2단계]부터 [4단계]까지 모두 보이고 논증이 매끄러운 경우
상A[2단계]부터 [4단계]까지 중 두 단계를 보이고 논증이 매끄러운 경우
중B[2단계]부터 [4단계]까지 중 한 단계를 논증이 매끄럽게 보이고 다른 한 단계를 시도만 한 경우
중C[2단계]부터 [4단계]까지 중 한 단계를 보이고 논증이 매끄러운 경우
중D[2단계]부터 [4단계]까지 중 한 단계를 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우
하E[1단계]를 보이면 배점 E 이상 부여
하F어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우
*채점시 참고사항 · [2단계]에서 f(t), g(t)\displaystyle f(t),\ g(t)의 규칙을 찾아 a=1\displaystyle a=1을 구해내는 것이 중요하다. 참고로, f(t), g(t)\displaystyle f(t),\ g(t)를 그래프로 나타내면 아래와 같다.(y=f(t)\displaystyle y=f(t):실선, y=g(t)\displaystyle y=g(t):점선)

시간에 따른 P와 Q의 위치: 실선 f(t), 점선 g(t)

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