자연계열 2번

[1단계] 점 P의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치를 $\displaystyle f(t)$, 점 Q의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치를 $\displaystyle g(t)$라고 하면 시각 $\displaystyle t=0$부터 두 점이 처음 만날 때까지 $\displaystyle f(t)=-\frac t9+1,\ g(t)=at-1$이다.

[2단계] 시각 $\displaystyle t_i$를 두 점 P,Q가 $\displaystyle i$번째 만나는 시각이라고 하면 $\displaystyle t_5=9$이며 $\displaystyle f(t),\ g(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=-\frac t9+1\ (0\le t\le t_1),\quad f(t)=at-1\ (t_1<t\le\frac2a),\quad f(t)=-at+3\ (\frac2a<t\le t_2),$$\displaystyle f(t)=-\frac t9+1\ (t_2<t\le t_3),\quad f(t)=at-5\ (t_3<t\le\frac6a),\quad f(t)=-at+7\ (\frac6a<t\le t_4),$$\displaystyle f(t)=-\frac t9+1\ (t_4<t\le t_5),$$\displaystyle g(t)=at-1\ (0\le t\le t_1),\quad g(t)=-\frac t9+1\ (t_1<t\le t_2),\quad g(t)=-at+3\ (t_2<t\le\frac4a),\quad g(t)=at-5\ (\frac4a<t\le t_3),\quad g(t)=-\frac t9+1\ (t_3<t\le t_4),$$\displaystyle g(t)=-at+7\ (t_4<t\le\frac8a),\quad g(t)=at-9\ (\frac8a<t\le t_5).$시각 $\displaystyle t_5=9$에서 두 점 P,Q가 만나므로 $\displaystyle 0=f(9)=g(9)=9a-9$이고, 따라서 $\displaystyle a=1$이다.

[3단계] $\displaystyle a=1$이고 $\displaystyle -t_4+7=f(t_4)=g(t_4)=-\frac19t_4+1$이므로 $\displaystyle t_4=\frac{27}4$이다.

[4단계] 네 번째 만남 직후 점 P의 속도는 시각 $\displaystyle t>t_4$에서 $\displaystyle t$가 $\displaystyle t_4$에 충분히 가까울 때 함수 $\displaystyle f(t)$의 기울기 $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac19$와 같으므로 구하는 점 P의 속도는 $\displaystyle -\frac19$이다.