자연계열 1번

$\displaystyle a=\overline{\mathrm{AB}},\ b=\overline{\mathrm{AD}},\ c=\overline{\mathrm{CB}},\ d=\overline{\mathrm{CD}}$라고 하자. 사각형 ABCD가 원에 내접하므로 제시문 [라]에 의해, $\displaystyle \angle C=120^\circ$이고, 제시문 [가]의 코사인 법칙에 의해$\displaystyle a^2+b^2-ab=64,\ c^2+d^2+cd=64$이다.

$\displaystyle ab,cd$를 각각 $\displaystyle a+b$ 와 $\displaystyle c+d$ 에 대한 식으로 변형하면$\displaystyle ab=\frac{(a+b)^2-64}3,\ cd=(c+d)^2-64$이다. 네 변의 길이의 합이 22 이므로, $\displaystyle c+d=x$ 라고 하면$\displaystyle ab=\frac{(22-x)^2-64}3,\ cd=x^2-64$로 표현할 수 있다.

$\displaystyle a,b$는 근과 계수와의 관계에 의해 이차 함수 $\displaystyle x^2-(a+b)x+ab=0$의 근이 된다. $\displaystyle a,b$가 양수이므로Correction. 여기서 ‘이차 함수’는 ‘이차방정식’을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a+b=22-x>0,\ ab=\frac{(22-x)^2-64}3>0,\ (a+b)^2-4ab=\frac{-(22-x)^2+256}3\ge0$이고 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 6\le x<14$이다.마찬가지로 두 양수 $\displaystyle c,d$가 존재하기 위한 조건은$\displaystyle c+d=x>0,\ cd=x^2-64>0,\ (c+d)^2-4cd=-3x^2+256\ge0$이므로 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 8<x\le\frac{16}3\sqrt3$이다. 따라서, 위의 두 결과를 종합하면 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 8<x\le\frac{16}3\sqrt3$이다.

한편 사각형 ABCD 의 넓이 $\displaystyle S$는 삼각형 ABD 와 삼각형 CBD 의 넓이의 합이므로 제시문 [나]에 의해$\displaystyle S=\frac12ab\sin A+\frac12cd\sin C=\frac{\sqrt3}4(ab+cd)$이다. $\displaystyle ab,cd$를 $\displaystyle x$로 표현한 식을 대입해서 정리하면$\displaystyle S=\frac{\sqrt3}4\left(\frac{(22-x)^2-64}3+x^2-64\right)=\frac{\sqrt3}3(x^2-11x+57)=\frac{\sqrt3}3\left(x-\frac{11}2\right)^2+\frac{107}{12}\sqrt3$이다. 따라서 사각형의 면적이 최대가 될 때 $\displaystyle x=\overline{\mathrm{CB}}+\overline{\mathrm{CD}}$의 값은 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle \frac{16}3\sqrt3$이다.