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자연계열 2번

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동국대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2023mo/jayeon_2

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이고 x=a\displaystyle x=a 좌우에서① f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대이다.② f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이다.-『고등학교 수학II』

[나] 두 매질 C1,C2\displaystyle C_1,C_2에서 빛의 속도가 각각 v1,v2\displaystyle v_1,v_2이고, 빛이 두 매질의 경계면을 통과할 때의 입사각을 θ1\displaystyle \theta_1, 굴절각을 θ2\displaystyle \theta_2라고 하면sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\displaystyle \frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}가 성립한다. 네덜란드의 수학자 스넬(Snell, 1580~1626)은 위와 같은 굴절의 법칙이 있다는 것을 발견하였는데, 두 점을 지나는 빛은 그 이동 시간이 최소가 되는 경로를 따라 이동한다는 것을 이용하여 증명할 수 있다.-『고등학교 미적분』

두 매질의 경계에서 빛의 입사각과 굴절각

[문제2] 좌표평면 상에서 움직이는 크기를 무시할 수 있는 아주 작은 물체가 y≥0\displaystyle y\ge0인 부분에서는 1의 일정한 속력으로 이동하고, y<0\displaystyle y<0인 부분에서는 2의 일정한 속력으로 이동하는 성질을 가지고 있다고 하자. 그 물체가 점 A(0,7)\displaystyle \mathrm A(0,\sqrt7)에서 점 B(2,−1)\displaystyle \mathrm B(2,-1)까지 이동하는 데 걸리는 최소 시간을 구하시오.

<15줄 이내>

해설강의 준비중

동국대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2023mo/jayeon_2

1단계 · 물체가 x\displaystyle x축과 만나는 점을 P라 할 때, 물체가 선분 AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}와 선분 PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}를 따라 이동하는데 걸리는 총 시간을 구체적인 함수로 표현함. 예를 들어,[첫 번째 풀이]에서x2+7+12(2−x)2+1\displaystyle \sqrt{x^2+7}+\frac12\sqrt{(2-x)^2+1}[첫 번째 풀이]에서f(x)=x2+7+12(2−x)2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+7}+\frac12\sqrt{(2-x)^2+1}

Correction. 두 번째로 적힌 ‘첫 번째 풀이’는 ‘두 번째 풀이’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

최소 시간이 걸리는 경로가 x\displaystyle x축과 만나는 점을 P(x,0)\displaystyle \mathrm P(x,0)이라 두면 0≤x≤2\displaystyle 0\le x\le2가 되어야 하고, 최소 시간은x2+7+12(2−x)2+1\displaystyle \sqrt{x^2+7}+\frac12\sqrt{(2-x)^2+1}이 된다.

2단계 · 최소 시간을 구하기 위해 함수를 미분하여 미분계수가 0이 되어야 함을 작성함. 예를 들어,[첫 번째 풀이]에서xx2+7=2−x2(2−x)2+1\displaystyle \frac x{\sqrt{x^2+7}}=\frac{2-x}{2\sqrt{(2-x)^2+1}}[두 번째 풀이]에서f′(x)=xx2+7−2−x2(2−x)2+1=0⇔2x(2−x)2+1=(2−x)x2+7\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac x{\sqrt{x^2+7}}-\frac{2-x}{2\sqrt{(2-x)^2+1}}=0\quad\Leftrightarrow\quad2x\sqrt{(2-x)^2+1}=(2-x)\sqrt{x^2+7}

굴절의 법칙은 이동 시간이 최소가 되는 경로를 따라 이동한다는 것을 이용하여 증명이 되므로 우리의 문제에도 적용할 수 있다. 입사각 θ1\displaystyle \theta_1, 굴절각 θ2\displaystyle \theta_2에 대해sin⁡θ1=xx2+7,sin⁡θ2=2−x(2−x)2+1\displaystyle \sin\theta_1=\frac x{\sqrt{x^2+7}},\quad\sin\theta_2=\frac{2-x}{\sqrt{(2-x)^2+1}}이므로 굴절의 법칙에 의해xx2+7=2−x2(2−x)2+1\displaystyle \frac x{\sqrt{x^2+7}}=\frac{2-x}{2\sqrt{(2-x)^2+1}}이 되어 0≤x≤2\displaystyle 0\le x\le2가 된다.

3단계 · [2단계]에서 구한 방정식을 변형 또는 정리하여 해를 구함.

양변을 제곱하면4x2((x−2)2+1)=(x−2)2(x2+7)⇔3x4−12x3+9x2+28x−28=0\displaystyle 4x^2((x-2)^2+1)=(x-2)^2(x^2+7)\quad\Leftrightarrow\quad3x^4-12x^3+9x^2+28x-28=0이다. 이 사차방정식은 x=1\displaystyle x=1을 해로 가지므로 다음과 같이 x−1\displaystyle x-1로 묶어진다.(x−1)(3x3−9x2+28)=0.\displaystyle (x-1)(3x^3-9x^2+28)=0.이제 g(x)=3x3−9x2+28\displaystyle g(x)=3x^3-9x^2+28로 두면 g′(x)=9x2−18x=9x(x−2), g(0)=28, g(2)=16\displaystyle g^{\prime}(x)=9x^2-18x=9x(x-2),\ g(0)=28,\ g(2)=16이므로 방정식 g(x)=0\displaystyle g(x)=0는 0≤x≤2\displaystyle 0\le x\le2에서 해를 갖지 않는다.

5단계 · 그 해를 [1단계]에서 구한 방정식에 대입하여 최소 시간을 구함.

Correction. 여기서 ‘방정식’은 이동 시간을 나타낸 함수를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, x=1\displaystyle x=1이 굴절의 법칙을 만족시키는 유일한 해이고, 이때 걸리는 최소 시간은 522\displaystyle \frac52\sqrt2이다.

채점 기준배점
상[1단계]부터 [5단계]까지를 모두 보인 경우S
상[1단계]부터 [4단계]까지를 모두 보인 경우A
중[1단계]부터 [3단계]까지를 모두 보인 경우B
중[1단계]와 [2단계]를 보인 후 [3단계]를 시도만 하고 끝마치지 못한 경우C
중[1단계]와 [2단계] 둘 다 모두 보인 경우D
하[1단계] 또는 [2단계]만 작성한 경우E
하어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

출제 의도에 가장 잘 들어맞는 답안의 풀이 순서는 다음과 같다.

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