자연계열 2번

최소 시간이 걸리는 경로가 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm P(x,0)$이라 두면 $\displaystyle 0\le x\le2$가 되어야 하고, 최소 시간은$\displaystyle \sqrt{x^2+7}+\frac12\sqrt{(2-x)^2+1}$이 된다.

굴절의 법칙은 이동 시간이 최소가 되는 경로를 따라 이동한다는 것을 이용하여 증명이 되므로 우리의 문제에도 적용할 수 있다. 입사각 $\displaystyle \theta_1$, 굴절각 $\displaystyle \theta_2$에 대해$\displaystyle \sin\theta_1=\frac x{\sqrt{x^2+7}},\quad\sin\theta_2=\frac{2-x}{\sqrt{(2-x)^2+1}}$이므로 굴절의 법칙에 의해$\displaystyle \frac x{\sqrt{x^2+7}}=\frac{2-x}{2\sqrt{(2-x)^2+1}}$이 되어 $\displaystyle 0\le x\le2$가 된다.

양변을 제곱하면$\displaystyle 4x^2((x-2)^2+1)=(x-2)^2(x^2+7)\quad\Leftrightarrow\quad3x^4-12x^3+9x^2+28x-28=0$이다. 이 사차방정식은 $\displaystyle x=1$을 해로 가지므로 다음과 같이 $\displaystyle x-1$로 묶어진다.$\displaystyle (x-1)(3x^3-9x^2+28)=0.$이제 $\displaystyle g(x)=3x^3-9x^2+28$로 두면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=9x^2-18x=9x(x-2),\ g(0)=28,\ g(2)=16$이므로 방정식 $\displaystyle g(x)=0$는 $\displaystyle 0\le x\le2$에서 해를 갖지 않는다.

따라서, $\displaystyle x=1$이 굴절의 법칙을 만족시키는 유일한 해이고, 이때 걸리는 최소 시간은 $\displaystyle \frac52\sqrt2$이다.