자연계열 3번

[1단계] 두 점 P, Q가 1회 이상 만나고, 만날 때마다 두 점의 속도가 일치 하므로 두 방정식 $\displaystyle 2\cos^2t=x=y=\frac54c-c\sin t$와 $\displaystyle -4\cos t\sin t=\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=-c\cos t$를 동시에 만족하는 $\displaystyle t\ge0$가 하나 이상 있어야 한다.

[2단계] 위에서 얻은 두 방정식 중 두 번째 방정식을 정리하면 $\displaystyle \cos t(4\sin t-c)=0$이다. $\displaystyle \cos t=0$일 때 첫 번째 방정식에서 $\displaystyle 0=c\left(\frac54-\sin t\right)$인데 $\displaystyle c>0,\ \frac54-\sin t>\frac14$이므로 $\displaystyle \cos t=0$인 경우는 두 방정식을 동시에 만족할 수 없다.Caution. 부등식을 적용할 때는 등호가 성립하는 경우도 확인해야 한다: $\displaystyle \sin t=1$이면 $\displaystyle \frac54-\sin t=\frac14$이므로, 여기서 $\displaystyle >$는 $\displaystyle \ge$가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 4\sin t-c=0$일 때에는 첫 번째 방정식에서부터 $\displaystyle 2\left(1-\frac{c^2}{16}\right)=2(1-\sin^2t)=2\cos^2t=\frac54c-c\sin t=\frac54c-\frac{c^2}4$, 즉 $\displaystyle c$에 대한 2차 방정식을 얻을 수 있다. 이를 정리하여 인수분해하면 $\displaystyle (c-2)(c-8)=0$이므로 $\displaystyle c$는 2또는 8이고 $\displaystyle \frac c4=\sin t\le1$에서 $\displaystyle c=2$임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle \sin t=\frac c4=\frac12$인 모든 $\displaystyle t\ge0$에서 두 점 P, Q가 만나는 것을 알 수 있다.

[3단계] 두 점 P, Q사이 거리 $\displaystyle D(t)$는 $\displaystyle D(t)=\left|\frac52-2\sin t-2\cos^2t\right|=\left|2\left(\sin t-\frac12\right)^2\right|=2\left(\sin t-\frac12\right)^2$이다. 이를 시각 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle D^{\prime}(t)=4\left(\sin t-\frac12\right)\cos t$이므로 극값은 $\displaystyle \sin t=\frac12$을 만족할 때와 $\displaystyle \cos t=0$을 만족할 때 나오는데 $\displaystyle \sin t=\frac12$일 때에는 두 점이 만나므로 극소이다. $\displaystyle \cos t=0$, 즉 $\displaystyle t=\left(n-\frac12\right)\pi,\ n=1,2,3,\cdots$이면 $\displaystyle D\left(\frac\pi2\right)=2\left(1-\frac12\right)^2=\frac12,\ D\left(\frac{3\pi}2\right)=2\left(-1-\frac12\right)^2=\frac92,\ D\left(\frac{5\pi}2\right)=\frac12,\ D\left(\frac{7\pi}2\right)=\frac92,\ \cdots$가 반복되어 나타나므로 두 점 P, Q사이 거리의 최댓값은 $\displaystyle \frac92$, 최초로 최댓값을 가지는 시간은 $\displaystyle t=\frac32\pi$이다.

[4단계] $\displaystyle y^{\prime}=-2\cos t,\ y^{\prime\prime}=2\sin t$이므로 시각 $\displaystyle t=\frac32\pi$에서 점 Q의 속도와 가속도는 각각 $\displaystyle -2\cos\frac{3\pi}2=0,\ 2\sin\frac{3\pi}2=-2$이다.