자연계열 2번

[1단계]제시문 [가]에 의해 $\displaystyle \mathrm E(X)=\sum_{i=1}^nx_iP(X=x_i)=\sum_{i=1}^nx_i\frac{g(x_i)}{\sum_{j=1}^ng(x_j)}=\frac{\sum_{i=1}^nx_ig(x_i)}{\sum_{j=1}^ng(x_j)}$제시문 [나]를 활용하면 연속인 함수 $\displaystyle h(x)=xg(x)$와 $\displaystyle g(x)$에 대해 다음이 성립한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nh(x_i)\Delta x=\int_0^1h(x)dx=\int_0^1xe^{-ax}dx$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^ng(x_j)\Delta x=\int_0^1g(x)dx=\int_0^1e^{-ax}dx$즉, 두 급수는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속인 함수의 정적분으로 표현될 수 있고, 이는 함수 $\displaystyle h(x)\ge0$ (또는 $\displaystyle g(x)>0$), $\displaystyle x$축, 직선 $\displaystyle x=0$과 직선 $\displaystyle x=1$로 둘러싸인 넓이이므로 두 급수 모두 0보다 큰 값으로 수렴한다.따라서, $\displaystyle \mathrm E(X)$의 극한은 제시문 [다]에 의해 다음과 같이 나타낸다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^nh(x_i)\Delta x}{\sum_{j=1}^ng(x_j)\Delta x}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nh(x_i)\Delta x}{\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^ng(x_j)\Delta x}=\frac{\int_0^1h(x)dx}{\int_0^1g(x)dx}=\frac{a\int_0^1xe^{-ax}dx}{a\int_0^1e^{-ax}dx}=\frac{\int_0^1axe^{-ax}dx}{1-e^{-a}}$

[2단계]위 정적분은 다음과 같이 부분적분법을 활용하여 구한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X)=\frac1{1-e^{-a}}\int_0^1axe^{-ax}dx=\frac1{1-e^{-a}}\left\{\Biggl[-xe^{-ax}\Biggr]_0^1-\int_0^1(-e^{-ax})dx\right\}$$\displaystyle =\frac1{1-e^{-a}}\left\{-e^{-a}-\frac1a(e^{-a}-1)\right\}$$\displaystyle =\frac1a-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}$

[3단계]제시문 [가]에 의해 $\displaystyle \mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-\{\mathrm E(X)\}^2$이다.먼저 $\displaystyle \mathrm E(X^2)$은 다음과 같이 표현한다.$\displaystyle \mathrm E(X^2)=\sum_{i=1}^nx_i^2P(X=x_i)=\sum_{i=1}^nx_i^2\frac{g(x_i)}{\sum_{j=1}^ng(x_j)}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2g(x_i)}{\sum_{j=1}^ng(x_j)}$위 $\displaystyle \mathrm E(X)$를 구하는 과정과 유사하게 $\displaystyle f(x)=x^2g(x)$라 하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x=\int_0^1f(x)dx=\int_0^1x^2e^{-ax}dx$이고 이 급수는 0보다 큰 값으로 수렴한다.따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X^2)$는 다음과 같이 구한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X^2)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}{\sum_{j=1}^ng(x_j)\Delta x}=\frac{\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}{\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^ng(x_j)\Delta x}=\frac{\int_0^1ax^2e^{-ax}dx}{1-e^{-a}}$

[4단계]$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X^2)$는 부분적분법을 활용하여 다음과 같이 나타낸다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X^2)=\frac1{1-e^{-a}}\int_0^1ax^2e^{-ax}dx=\frac1{1-e^{-a}}\left\{\Biggl[-x^2e^{-ax}\Biggr]_0^1-\int_0^1(-2xe^{-ax})dx\right\}$$\displaystyle =-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}+\frac2a\left\{\frac1a-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\right\}$

[5단계]앞에서 구한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm E(X)$를 이용하고 제시문 [다]를 적용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\{\mathrm E(X)\}^2=\left\{\frac1a-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\right\}^2$

[6단계]따라서, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm V(X)$는 다음과 같이 나타낸다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm V(X)=\lim_{n\to\infty}\mathrm E(X^2)-\lim_{n\to\infty}\{\mathrm E(X)\}^2=-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}+\frac2a\left\{\frac1a-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\right\}-\left\{\frac1a-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\right\}^2$$\displaystyle =\frac1{a^2}-\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\left\{1+\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\right\}=\frac1{a^2}-\frac{e^{-a}}{(1-e^{-a})^2}$