자연계열 3번

(1) 시각 $\displaystyle t=0$일 때 원점 O에서 물체 M의 속도의 $\displaystyle x$성분은 $\displaystyle a$이고 $\displaystyle y(t)>0$인 시각 $\displaystyle t>0$에서 $\displaystyle x^{\prime\prime}(t)=0$이므로 이를 적분하면 $\displaystyle 0\le t\le t_1$일 때 $\displaystyle x^{\prime}(t)=a$이다. 충돌 시각 $\displaystyle t=t_1$에 대해 충돌 전후 M의 속도의 $\displaystyle x$성분은 변화가 없다는 조건에 의해 $\displaystyle t_1\le t\le t_2$일 때에도 $\displaystyle x^{\prime}(t)=a$이므로 이를 반복적으로 적용하면 모든 시각 $\displaystyle t\ge0$에 대해 $\displaystyle x^{\prime}(t)=a$, 즉 $\displaystyle x(t)=at$가 된다.시각 $\displaystyle t=0$일 때 원점 O에서 M의 속도의 $\displaystyle y$성분은 $\displaystyle b$이고 $\displaystyle y(t)>0$인 시각 $\displaystyle t>0$에서 $\displaystyle y^{\prime\prime}(t)=-g$이므로 이를 적분하면 $\displaystyle 0\le t\le t_1$일 때 $\displaystyle y^{\prime}(t)=b-gt$가 되고 이를 다시 적분하면 $\displaystyle y(t)=bt-\frac12gt^2$을 얻는다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 충돌 시각 $\displaystyle t_1$에서 $\displaystyle y$의 좌미분계수는 $\displaystyle -b$, 우미분계수는 $\displaystyle \frac b2$이므로 $\displaystyle y^{\prime}(t_1)$은 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle y^{\prime}(t)=b-gt$의 범위에 $\displaystyle t_1$을 포함할 수 없다. 충돌 직전의 속도는 좌극한으로 읽으며, 위치식 $\displaystyle y(t)=bt-\frac12gt^2$는 $\displaystyle t_1$에서도 성립한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

여기서 $\displaystyle y(t_1)=0$을 계산하면 $\displaystyle t_1=\frac{2b}g$를 얻고, 시각 $\displaystyle t=t_1$일 때 $\displaystyle x$축에 충돌 직전의 속도는 $\displaystyle \lim_{t\to t_1^-}y^{\prime}(t)=-b$가 된다.이와 유사한 방법으로 계산하면 $\displaystyle t_2-t_1=\frac bg,\ t_3-t_2=\frac b{2g},\ \cdots$을 얻게 되어 귀납적 추론에 의해 $\displaystyle t_1=\frac{2b}g,\ t_2-t_1=\frac bg,\ t_3-t_2=\frac b{2g},\ \cdots$, 즉 첫째항이 $\displaystyle \frac{2b}g$이고 공비가 $\displaystyle \frac12$인 등비수열임을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}t_n=\frac{2b}g+\frac bg+\frac b{2g}+\cdots=\frac{2b}g\cdot\frac1{1-\frac12}=\frac{4b}g$이다.

(2) 위 (1)번 계산으로부터 $\displaystyle 0\le t\le t_1$일 때 $\displaystyle x=x(t)=at,\ y=y(t)=bt-\frac12gt^2$이다. 이제 $\displaystyle y=bt-\frac12gt^2$에 $\displaystyle t=\frac xa$를 대입하면 $\displaystyle 0\le t\le t_1$인 동안에 M이 그리는 곡선의 방정식은$\displaystyle y=\frac bax-\frac g{2a^2}x^2\quad(0\le x\le\frac{2ab}g)$가 되고 이 곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle A_1$은$\displaystyle A_1=\int_0^{\frac{2ab}g}(\frac bax-\frac g{2a^2}x^2)dx=\Biggl[\frac b{2a}x^2-\frac g{6a^2}x^3\Biggr]_0^{\frac{2ab}g}=\frac{2ab^3}{3g^2}$이 된다.이와 유사한 방법으로 계산하면 $\displaystyle t_1\le t\le t_2$인 동안 M이 그리는 곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle A_2$는 $\displaystyle A_2=\frac18\cdot\frac{2ab^3}{3g^2}$이 되고, $\displaystyle t_2\le t\le t_3$인 동안 M이 그리는 곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle A_3$는 $\displaystyle A_3=\frac1{8^2}\cdot\frac{2ab^3}{3g^2},\ \cdots$을 얻게 된다. 이 과정을 반복하면 귀납적 추론에 의해 수열 $\displaystyle \{A_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{2ab^3}{3g^2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac18$인 등비수열을 이룬다는 것을 알 수 있고 따라서 구하고자 하는 도형의 넓이는$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n=\frac{2ab^3}{3g^2}+\frac18\cdot\frac{2ab^3}{3g^2}+\frac1{8^2}\cdot\frac{2ab^3}{3g^2}+\cdots=\frac{2ab^3}{3g^2}\cdot\frac1{1-\frac18}=\frac{16ab^3}{21g^2}$이 된다.

(3) 위 (2)번의 풀이에서 $\displaystyle 0\le t\le t_1$인 동안 M이 그리는 곡선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac bax-\frac g{2a^2}x^2\ (0\le x\le\frac{2ab}g)$가 됨을 구하였다. 이제 이 곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피 $\displaystyle V_1$은$\displaystyle V_1=\int_0^{\frac{2ab}g}(\frac bax-\frac g{2a^2}x^2)^2dx=\Biggl[\frac{g^2}{20a^4}x^5-\frac{bg}{4a^3}x^4+\frac{b^2}{3a^2}x^3\Biggr]_0^{\frac{2ab}g}=\frac{4ab^5}{15g^3}$이 된다.이와 유사한 방법으로 계산하면 $\displaystyle t_1\le t\le t_2$인 동안 M이 그리는 곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피 $\displaystyle V_2$는 $\displaystyle V_2=\frac1{32}\cdot\frac{4ab^5}{15g^3}$이 되고, $\displaystyle t_2\le t\le t_3$인 동안 M이 그리는 곡선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피 $\displaystyle V_3$는 $\displaystyle V_3=\frac1{32^2}\cdot\frac{4ab^5}{15g^3},\ \cdots$을 얻게 된다. 이 과정을 반복하면 귀납적 추론에 의해 수열 $\displaystyle \{V_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{4ab^5}{15g^3}$이고 공비가 $\displaystyle \frac1{32}$인 등비수열을 이룬다는 것을 알 수 있고 따라서 구하고자 하는 입체도형의 부피는$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n=\frac{4ab^5}{15g^3}+\frac1{32}\cdot\frac{4ab^5}{15g^3}+\frac1{32^2}\cdot\frac{4ab^5}{15g^3}+\cdots=\frac{4ab^5}{15g^3}\cdot\frac1{1-\frac1{32}}=\frac{128ab^5}{465g^3}$이 된다.