자연계열 1번

동국대 2024학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2024mo/jayeon_1

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 임의의 세 실수 $\displaystyle a,b,c$ 를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx+\int_b^cf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx$ 이다.-『고등학교 수학II』

[나] 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 의 임의의 점 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$ 인 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=\int_a^bS(x)\,dx$ 이다. 단, $\displaystyle S(x)$ 는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수이다.-『고등학교 미적분』

[문제1] 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 과 직선 $\displaystyle y=4x$ 로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $\displaystyle y$ 축에 수직이며 $\displaystyle y$ 좌표가 $\displaystyle 4$ 인 평면으로 잘라서 얻어진 두 입체도형 중에서 $\displaystyle y$ 좌표가 $\displaystyle 0$ 이상 $\displaystyle 4$ 이하인 영역에 속하는 입체도형의 부피를 구하시오.

<15줄 이내>

해설강의 준비중

동국대 2024학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2024mo/jayeon_1

1단계 · 구하고자 하는 입체도형의 밑면을 구체적으로 구한다. 예를 들어, 밑면을

\displaystyle y=x^2,\ y=4x

로 둘러싸인 도형 중에서

\displaystyle 0\le x\le1

인 부분 A와

\displaystyle y=x^2,\ y=4,\ x=1\ (1\le x\le2)

로 둘러싸인 부분 B의 두 부분으로 구한다.

문제에서 구하고자 하는 입체도형의 밑면을 $\displaystyle y=x^2,\ y=4x$ 로 둘러싸인 도형 중에서 $\displaystyle 0\le x\le1$ 인 부분 A와 $\displaystyle y=x^2,\ y=4,\ x=1\ (1\le x\le2)$ 로 둘러싸인 부분 B의 두 부분으로 나눈다.

2단계

A를 밑면으로 하는 입체도형은 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 $\displaystyle 4x-x^2$ 인 정사각형이므로 그 부피 $\displaystyle V_1$ 은 $\displaystyle V_1=\int_0^1(4x-x^2)^2\,dx=\Biggl[\frac15x^5-2x^4+\frac{16}3x^3\Biggr]_0^1=\frac{53}{15}$ 이 된다.

3단계

B를 밑면으로 하는 입체도형은 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 밑변의 길이가 $\displaystyle 4-x^2$ 이고 높이가 $\displaystyle 4x-x^2$ 인 직사각형이므로 그 부피 $\displaystyle V_2$ 는 $\displaystyle V_2=\int_1^2(4-x^2)(4x-x^2)\,dx=\Biggl[\frac15x^5-x^4-\frac43x^3+8x^2\Biggr]_1^2=\frac{88}{15}$ 이 된다.

4단계

따라서 구하고자 하는 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=V_1+V_2=\frac{47}5$ 이다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [4단계]까지 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
상	[1단계]부터 [3단계]까지 논증이 매끄럽게 작성한 경우	A
중	[1단계]와 [2단계]를 논증이 매끄럽게 작성하고 [3단계]를 작성하였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	B
중	[1단계]와 [2단계]만 논증이 매끄럽게 작성한 경우	C
중	[1단계]를 논증이 매끄럽게 작성하고 [2단계]를 작성하였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우	D
하	[1단계]만 논증이 매끄럽게 작성한 경우	E
하	어느 단계도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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