자연계열 1번

문제에서 구하고자 하는 입체도형의 밑면을 $\displaystyle y=x^2,\ y=4x$로 둘러싸인 도형 중에서 $\displaystyle 0\le x\le1$인 부분 A와 $\displaystyle y=x^2,\ y=4,\ x=1\ (1\le x\le2)$로 둘러싸인 부분 B의 두 부분으로 나눈다.

A를 밑면으로 하는 입체도형은 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 $\displaystyle 4x-x^2$인 정사각형이므로 그 부피 $\displaystyle V_1$은$\displaystyle V_1=\int_0^1(4x-x^2)^2\,dx=\Biggl[\frac15x^5-2x^4+\frac{16}3x^3\Biggr]_0^1=\frac{53}{15}$이 된다.

B를 밑면으로 하는 입체도형은 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 밑변의 길이가 $\displaystyle 4-x^2$이고 높이가 $\displaystyle 4x-x^2$인 직사각형이므로 그 부피 $\displaystyle V_2$는$\displaystyle V_2=\int_1^2(4-x^2)(4x-x^2)\,dx=\Biggl[\frac15x^5-x^4-\frac43x^3+8x^2\Biggr]_1^2=\frac{88}{15}$이 된다.

따라서 구하고자 하는 입체도형의 부피 $\displaystyle V$는 $\displaystyle V=V_1+V_2=\frac{47}5$이다.