자연계열 3번

[1단계]4개의 윷가락들을 던져 나온 배(평평한 면)의 수를 $\displaystyle X$라 하면 문제에서 주어진 1000번의 시행의 결과를 통해 평평한 면이 나온 횟수는 다음과 같다.

[2단계]위 결과를 이용해서 한 윷가락의 평평한 면(사건 $\displaystyle A$)이 나타날 통계적 확률 $\displaystyle p^{\prime}$은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle p^{\prime}=\frac{110+622+1152+716}{4\times1000}=\frac{2600}{4000}=0.65$

[3단계]제시문 [다]에 의해 시행의 횟수 $\displaystyle n=4\times1000$가 크므로 통계적 확률 $\displaystyle p^{\prime}$과 수학적 확률 $\displaystyle p$는 같다.Comment. 여기서는 상대도수 $\displaystyle 0.65$를 실제 확률의 근삿값으로 사용한다. 시행 횟수가 커도 두 값이 정확히 같아지는 것은 아니다.

[4단계]한편 각 윷가락에서 배가 위로 나타날 확률은 중심각 $\displaystyle 2\pi-\theta$를 갖는 부채꼴 OAB가 단면인 기둥에서 호 AB에 해당하는 기둥의 면적인 $\displaystyle 10(2\pi-\theta)$이고 등이 위로 나타날 확률은 현 AB의 수직 단면적의 넓이인 $\displaystyle 10d$이다.Comment. 두 확률은 각각의 면적 자체가 아니라 그 면적에 비례한다. 배와 등이 위로 나올 확률은 각각 $\displaystyle \frac{2\pi-\theta}{2\pi-\theta+d}$, $\displaystyle \frac{d}{2\pi-\theta+d}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[5단계]이를 이용해서 다음의 비례식을 세울 수 있다.$\displaystyle 0.35:0.65=10d:10(2\pi-\theta)$$\displaystyle \Leftrightarrow d=\frac7{13}(2\pi-\theta)$

[6단계]따라서, 현 AB의 길이 $\displaystyle d$는 $\displaystyle \frac7{13}(2\pi-\theta)$ cm이다.