자연계열 2번

구 $\displaystyle B$가 $\displaystyle xy$평면과 만나서 생기는 원의 중심의 좌표는 $\displaystyle (5,5,0)$이다.

점 $\displaystyle (10,17,3)$에서 이 원 위의 점 $\displaystyle (a,b,0)$까지 거리의 제곱은 제시문 【나】에 의해 $\displaystyle (a-10)^2+(b-17)^2+9$ 이고, 여기서 $\displaystyle (a-10)^2+(b-17)^2$의 최댓값과 최솟값은 $\displaystyle xy$평면 위의 점 $\displaystyle (10,17,0)$에서 주어진 원 위의 점까지 거리의 제곱의 최댓값과 최솟값과 같다. 여기서 점 $\displaystyle (10,17,0)$는 점 P 의 $\displaystyle xy$평면에 대한 수선의 발이다. 이 수선의 발 $\displaystyle (10,17,0)$에서 이 원의 중심까지의 거리는 13이므로 점 $\displaystyle (10,17,0)$에서 이 원까지 거리의 최댓값과 최솟값은 각각 18와 8이다.Correction. ‘18와 8’은 ‘18과 8’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 점 $\displaystyle (10,17,3)$에서 이 원까지 거리의 최댓값과 최솟값은 각각 $\displaystyle 3\sqrt{37}$와 $\displaystyle \sqrt{73}$이다.

그리고, 최대와 최소가 되는 점은 원의 중심$\displaystyle (5,5,0)$에서 점 $\displaystyle (10,17,0)$을 지나는 직선이 이 원과 만나는 두 점 중 점 $\displaystyle (10,17,0)$에서 각각 먼 점과 가까운 점이다. 이 직선의 방정식은 $\displaystyle xy$평면에 있고$\displaystyle (z=0)$,$\displaystyle y-5=\frac{12}{5}(x-5)$이다.

이 직선이 원$\displaystyle (x-5)^2+(y-5)^2=25$과 만나는 점을 구하기 위해 대입하면$\displaystyle 25=(x-5)^2+\frac{144}{25}(x-5)^2=\frac{169}{25}(x-5)^2$$\displaystyle x=5\pm\frac{25}{13}, y=5\pm\frac{60}{13}$ (부호 순서 같음)이므로, 최대가 되는 점은 $\displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac{40}{13},\frac{5}{13},0\right)$이고, 최소가 되는 점은 $\displaystyle \mathrm{R}\left(\frac{90}{13},\frac{125}{13},0\right)$이다.