수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.
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자연계열 2번

배점30점
예상 소요 시간30분

문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 중심이 (a,b,c)\displaystyle (a,b,c)이고, 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 구의 방정식은(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2--- 고등학교 기하

[나] 좌표공간에서 두 점 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1,z_1), \mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)사이의 거리는AB‾=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}이다.-- 고등학교 기하

[다] 공간에서 직선 l\displaystyle l이 평면 α\displaystyle \alpha와 한 점에서 만나고 평면 α\displaystyle \alpha위의 모든 직선과 서로 수직일 때, 직선 l\displaystyle l은 평면 α\displaystyle \alpha와 수직이라고 하며, 이것을 기호로l⊥α\displaystyle l \perp \alpha와 같이 나타낸다. 이 때 직선 l\displaystyle l을 평면 α\displaystyle \alpha의 수선이라고 하며, 직선 l\displaystyle l과 평면 α\displaystyle \alpha가 만나는 점 O를 수선의 발이라고 한다.---- 고등하교 기하

중심의 x\displaystyle x좌표, y\displaystyle y좌표, z\displaystyle z좌표가 모두 양수인 구 B\displaystyle B가 x\displaystyle x축과 y\displaystyle y축에 각각 접하고 xy\displaystyle xy평면과 만나서 생기는 원의 넓이가 25π\displaystyle 25\pi이다. 점 P(10,17,3)\displaystyle \mathrm{P}(10,17,3)에서 이 xy\displaystyle xy평면위의 원까지의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하고, 최대 및 최소가 되는 원 위의 점 Q,R을 각각 구하시오.

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구 B\displaystyle B가 xy\displaystyle xy평면과 만나서 생기는 원의 중심의 좌표는 (5,5,0)\displaystyle (5,5,0)이다.점 (10,17,3)\displaystyle (10,17,3)에서 이 원 위의 점 (a,b,0)\displaystyle (a,b,0)까지 거리의 제곱은 제시문 【나】에 의해 (a−10)2+(b−17)2+9\displaystyle (a-10)^2+(b-17)^2+9 이고,여기서 (a−10)2+(b−17)2\displaystyle (a-10)^2+(b-17)^2의 최댓값과 최솟값은xy\displaystyle xy평면 위의 점 (10,17,0)\displaystyle (10,17,0)에서 주어진 원 위의 점까지 거리의 제곱의 최댓값과 최솟값과 같다.여기서 점 (10,17,0)\displaystyle (10,17,0)는 점 P 의 xy\displaystyle xy평면에 대한 수선의 발이다.이 수선의 발 (10,17,0)\displaystyle (10,17,0)에서 이 원의 중심까지의 거리는 13이므로점 (10,17,0)\displaystyle (10,17,0)에서 이 원까지 거리의 최댓값과 최솟값은 각각 18와 8이다.따라서, 점 (10,17,3)\displaystyle (10,17,3)에서 이 원까지 거리의 최댓값과 최솟값은 각각 337\displaystyle 3\sqrt{37}와 73\displaystyle \sqrt{73}이다.

그리고, 최대와 최소가 되는 점은 원의 중심(5,5,0)\displaystyle (5,5,0)에서 점 (10,17,0)\displaystyle (10,17,0)을 지나는 직선이이 원과 만나는 두 점 중 점 (10,17,0)\displaystyle (10,17,0)에서 각각 먼 점과 가까운 점이다.이 직선의 방정식은 xy\displaystyle xy평면에 있고(z=0)\displaystyle (z=0),y−5=125(x−5)\displaystyle y-5=\frac{12}{5}(x-5)이다. 이 직선이 원(x−5)2+(y−5)2=25\displaystyle (x-5)^2+(y-5)^2=25과 만나는 점을 구하기 위해 대입하면25=(x−5)2+14425(x−5)2=16925(x−5)2\displaystyle 25=(x-5)^2+\frac{144}{25}(x-5)^2=\frac{169}{25}(x-5)^2x=5±2513,y=5±6013\displaystyle x=5\pm\frac{25}{13}, y=5\pm\frac{60}{13} (부호 순서 같음)이므로, 최대가 되는 점은 Q(4013,513,0)\displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac{40}{13},\frac{5}{13},0\right)이고,최소가 되는 점은 R(9013,12513,0)\displaystyle \mathrm{R}\left(\frac{90}{13},\frac{125}{13},0\right)이다.

아래는 대학이 예시답안과 함께 공개한 평가기준이다. 점수가 아니라 등급(S~F)으로 매긴다.

채점 기준배점
상[1단계]부터 [4단계]까지를 모두 보이고, 논증이 매끄럽고 설득력이 있는 경우S
상[1단계]부터 [4단계]까지를 모두 보였으나 논증이 매끄럽지 않은 경우A
중[1단계]부터 [3단계]까지의 과정을 기술한 경우B
중[1단계]부터 [2단계]까지의 과정을 기술한 경우C
중[1단계]의 과정을 기술한 경우D
하위 단계 중 한 단계만 기술한 경우E
하어느 단계도 맞게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

[제1단계] 원의 중심의 좌표 (5,5,0)\displaystyle (5,5,0)를 구할 수 있다.

[제2단계] 점 (10,17,3)\displaystyle (10,17,3)에서 원까지 거리의 최댓값 337\displaystyle 3\sqrt{37}과 최솟값 73\displaystyle \sqrt{73}을 구할 수 있다.

[제3단계] 원의 중심에서 점(10,17,3)\displaystyle (10,17,3)의 xy\displaystyle xy평면에 대한 수선의 발을지나는 직선의 방정식을 구할 수 있다.

[제4단계] 점 (10,17,3)\displaystyle (10,17,3)에 원까지 거리가 최대가 되는 점 Q(4013,513,0)\displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac{40}{13},\frac{5}{13},0\right)과최소가 되는 점 R(9013,12513,0)\displaystyle \mathrm{R}\left(\frac{90}{13},\frac{125}{13},0\right)을 구할 수 있다.

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