자연계열 3번

[문항(1) 풀이]위 그림과 같이 시각 $\displaystyle t$에 원점 O와 점 Q를 잇는 직선 OQ와 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $\displaystyle s(t)$라 하자. Q는 원 위를 움직이므로, Q의 좌표는 $\displaystyle (\cos s(t),\sin s(t))$이고, 속력은 $\displaystyle \sqrt{(\sin^2s(t)+\cos^2s(t))(\frac{ds}{dt})^2}=\left|\frac{ds}{dt}\right|$이다. 점 Q, P로부터 각각 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm h_{\mathrm Q},\ \mathrm h_{\mathrm P}$라 하면, $\displaystyle \angle\mathrm{QAh}_{\mathrm Q}=\angle\mathrm{PAh}_{\mathrm P}$이므로, $\displaystyle \tan(\angle\mathrm{QAh}_{\mathrm Q})=\tan(\angle\mathrm{PAh}_{\mathrm P})$이고, 다음을 얻는다.$\displaystyle \frac{\sin s(t)}{a-\cos s(t)}=\frac{\sin t}{a-\cos t}.$

이를 정리하면 $\displaystyle (a-\cos t)\sin s(t)-\sin t(a-\cos s(t))=0$이고, 음함수의 미분법에 의해$\displaystyle \sin t\sin s(t)+(a-\cos t)\cos s(t)\frac{ds}{dt}-\cos t(a-\cos s(t))-\sin t\sin s(t)\frac{ds}{dt}=0.$점 Q가 점 $\displaystyle (0,1)$을 지날 때, $\displaystyle s(t)=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \sin s(t)=1,\ \cos s(t)=0$이고, $\displaystyle t=t_0$이므로,이를 위 식에 대입하고 정리하면 $\displaystyle t=t_0$에서 Q의 속력은 $\displaystyle \left|\frac{ds}{dt}\right|=\left|1-a\frac{\cos t_0}{\sin t_0}\right|$이다.

위 그림과 같이 점 Q의 위치가 $\displaystyle (0,1)$인 상황에서 $\displaystyle \angle\mathrm{AQO}=\alpha$라 하면, $\displaystyle \tan\alpha=a$이다.한편, 직선 OQ와 직선 OP의 길이가 같으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{QPO}=\alpha$이고, $\displaystyle t_0+\frac\pi2=2\alpha$가 성립한다.Correction. ‘직선 $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$’는 ‘선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}$와 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle \frac{\cos(2\alpha-\frac\pi2)}{\sin(2\alpha-\frac\pi2)}=\frac{\sin(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)}=-\tan2\alpha=-\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2a}{a^2-1}$이고,Q의 속력은 $\displaystyle \left|1-\frac{2a^2}{a^2-1}\right|=\left|-1-\frac2{a^2-1}\right|=1+\frac2{a^2-1}$ ($\displaystyle a\ge2$이므로)이다.

[문항(2) 풀이]$\displaystyle 1+\frac2{a^2-1}$는 $\displaystyle 2\le a\le3$에서 감소함수이므로, 점 Q의 속력은 $\displaystyle a=2$일 때 최대이고, 그 값은 $\displaystyle 1+\frac23=\frac53$이다.