자연계열 2번

(1) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\cos t+4$이고, 이 접선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \alpha$라고 하면 $\displaystyle \tan\alpha=f^{\prime}(t)=\cos t+4$이다. 또한 역함수 미분법에 의해 곡선 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ 위의 점 $\displaystyle (f(t),t)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac1{f^{\prime}(t)}$이고, 이 접선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \beta$라고 하면 $\displaystyle \tan\beta=\frac1{f^{\prime}(t)}$이다.

그러므로 $\displaystyle g(t)=\tan\theta=\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{(f^{\prime}(t))^2-1}{2f^{\prime}(t)}$이다.$\displaystyle f^{\prime}(\frac\pi2)=4$이므로 $\displaystyle g(\frac\pi2)=\frac{15}8$이다.

(2) $\displaystyle g(t)=\frac{(\cos t+4)^2-1}{2(\cos t+4)}$에서 $\displaystyle \cos t+4=s\ (3\le s\le5)$로 치환하면 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 $\displaystyle h(s)=\frac{s^2-1}{2s}\ (3\le s\le5)$의 최솟값과 같다. $\displaystyle h^{\prime}(s)=\frac{1+s^2}{2s^2}>0$이므로 $\displaystyle h(s)$는 구간 $\displaystyle [3,5]$에서 증가함수이고

$\displaystyle s=3$일 때, 함수 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 $\displaystyle h(3)=\frac43$이다.

(3) $\displaystyle x=f(t)\ (0\le t\le2\pi)$와 제시문 [다]를 이용하면$\displaystyle \int_{f(0)}^{f(2\pi)}g(f^{-1}(x))dx=\int_0^{2\pi}g(t)f^{\prime}(t)dt$이다.

그런데 $\displaystyle g(t)=\frac{(f^{\prime}(t))^2-1}{2f^{\prime}(t)}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\cos t+4$이므로$\displaystyle \int_{f(0)}^{f(2\pi)}g(f^{-1}(x))dx=\int_0^{2\pi}\frac12((\cos t+4)^2-1)dt=\frac12\int_0^{2\pi}(\cos^2t+8\cos t+15)dt$이고$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\int_0^{2\pi}\frac{\cos2t+1}2dt=\Biggl[\frac{\sin2t}4+\frac t2\Biggr]_0^{2\pi}=\pi,$$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos t\,dt=\Biggl[\sin t\Biggr]_0^{2\pi}=0$이다.따라서 $\displaystyle \int_{f(0)}^{f(2\pi)}g(f^{-1}(x))dx=\frac12\int_0^{2\pi}(\cos^2t+8\cos t+15)dt=\frac{31\pi}2$이다.